2-4. ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

Процессы теплообмена при вынужденном движении теплоносителя и при свободной конвекции протекают по-разному. Различными оказываются также числа подобия для этих процессов. Поэтому эти два случая теплообмена целесообразно рассматривать вначале раздельно.

Условия подобия конвективного теплообмена при вынужденном движении теплоносителя. На практике встречается большое число разнообразных задач, в которых теплообмен происходит в условиях вынужденного движения теплоносителя. Они различаются по геометрической форме и конфигурации систем, в которых протекает процесс теплообмена, по кинематической картине и режиму течения потока. Различными могут быть также сами теплоносители — жидкости и газы. Однако для всех таких процессов условия подобия имеют единообразный, универсальный вид, определяемый теорией подобия.

Прежде всего подобными могут быть лишь процессы теплообмена, протекающие в геометрически подобных системах. Далее необходимой предпосылкой подобия должно быть подобие полей скорости, температур и давлений во входном или начальном сечении таких систем. При выполнении этих условий стационарные процессы конвективного теплообмена при вынужденном движении будут подобны, если выполняется условие:

Число Рейнольдса [см. уравнение (2-24)] определяет гидромеханическое подобие течений теплоносителей:

где — характерлая, обычно средняя скорость жидкости или газа в начальном сечении системы; — характерный геометрический размер системы (например, диаметр канала, длина пластины и т. д.); — кинематический коэффициент вязкости теплоносителя.

Число Прандтля является теплофизической характеристикой теплоносителя. Оно составлено лишь из физических параметров:

[так как ], и его численные значения приводятся в таблицах.

При равенстве чисел Re условие одинаковости чисел обеспечивает тепловое подобие, т. е. подобие полей температурных напоров и тепловых потоков во всем объеме рассматриваемых систем.

Согласно теории подобия у подобных процессов должны быть одинаковы также и определяемые числа подобия. В процессах конвективного теплообмена в качестве определяемого выступает число Нуссельта Nu, характеризующее интенсивность процесса конвективного теплообмена:

где а — коэффициент теплоотдачи; — характерный геометрический размер; — коэффициент теплопроводности теплоносителя.

Итак, условия (2-29) представляют собой условия инвариантности (одинаковости) определяющих чисел подобия. Этим обеспечивается подобие процессов. Инвариантность определяемого числа подобия (числа Nu), т. е. соотношение

является следствием установившегося подобия.

Уравнение подобия для процессов конвективного теплообмена при вынужденном движении теплоносителя имеет вид:

Приведенные выше условия подобия определяются путем анализа математического описания процессов конвективного теплообмена. При вынужденном движении теплоносителя гидромеханическая картина течения не зависит от теплообмена, поэтому условия гидромеханического подобия являются необходимой предпосылкой теплового подобия. Эти условия уже были рассмотрены в § 2-3. Они сводятся к подобию полей скорости и давления во входном сечении систем и к выполнению условия

Равенство чисел Re вытекает из уравнения связи между постоянными подобия (2-22):

Поэтому здесь остается рассмотреть те дополнительные уравнения связи между постоянными подобия, которые определяются уравнением теплопроводности

    (2-35)

и уравнением теплоотдачи

В эти уравнения температура входит лишь под знаком производной или в виде разности. Это означает, что для процессов конвективного теплообмена существенны лишь разности температур, а не абсолютные значения. Поэтому следует рассматривать подобие температурных напоров v, отсчитывая температуру от фиксированного ее значения в условиях однозначности. Для двух подобных процессов теплообмена на основе общего определения подобия имеем:

во всех сходственных точках систем, определяемых условием

Здесь — постоянные числа.

Теперь запишем уравнения (2-35) и (2-36) для каждого процесса:

Выразим все величины с индексом через постоянные подобия и величины с индексом из условий (2-37) и (2-38), т. е.

и т. д., и подставим эти значения в уравнения (а) и (б). Тогда получим:

Теперь видно, что для величин с индексом имеются две пары уравнений: (в) и (г) и (2-39), (2-40), которые связывают одни и те же переменные. Поэтому эти уравнения должны быть тождественны друг другу. Уравнение теплопроводности (2-39) станет тождественным уравнению (в), если множители и будут равны друг другу. Отметим, что каждый из этих множителей представляет собой постоянную подобия для теплового потока в сходственных точках теплоносителей. Множитель с есть постоянная подобия для теплового потока, переносимого конвекцией, а множитель — то же для теплового потока, передаваемого теплопроводностью. Поэтому равенство

является усовием теплового подобия. Оно показывает, что у подобных тепловых процессов множители подобного преобразования тепловых потоков численно одинаковы. Это равенство можно переписать также в виде

если сократить одинаковые величины и постоянную выразить из уравнения (2-22).

Тождественность уравнений (г) и (2-40) выполняется при условии

    (2-43)

Соотношения (2-42) и (2-43) можно представить также в ином, более удобном виде, если вместо постоянных подобия представить их значения из условий (2-37) и (2-38) и затем величины с индексами и сгруппировать соответственно в левой и правой частях равенств. При этом постоянная может быть представлена через отношение средних коэффициентов теплоотдачи:

Тогда получим:

Число Прандтля составлено из физических параметров, задаваемых в условиях однозначности, это — определяющее число подобия. Число Нуссельта Nu содержит коэффициент теплоотдачи, являющийся функцией процесса, это — определяемое число подобия.

Таким образом, на основе третьей теоремы подобия равенство чисел обеспечивает подобие процессов конвективного теплообмена при вынужденном движении. Одинаковость чисел Nu является следствием установившегося подобия.

Условия подобия процессов теплообмена при свободной конвекции. Процесс свободной конвекции возникает из-за различия плотностей нагретых и холодных частиц теплоносителя. Для большинства теплоносителей в том интервале температур, который обычно встречается на практике, зависимость плотности от температуры с достаточным приближением может рассматриваться как линейная. Так, если вдали от нагретого тела температура теплоносителя составляет , а в некоторой точке около поверхности равна , то соответствующие значения плотности и р связаны уравнением

где р — температурный коэффициент объемного расширения среды.

Так как , то на частицы нагретой жидкости, имеющей температуру , действует подъемная архимедова сила, равная:

Эта сила и вызывает конвективное движение среды.

Из уравнения (2-47) следует, что подъемная сила будет тем больше, чем выше значение следующих величин: напряженности гравитационного поля g, температурного коэффициента объемного расширения р и температурного напора .

Процессы свободной конвекции широко распространены в различных областях современной техники. Однако несмотря на разнообразие практических схем их осуществления, для всех таких процессов условия подобия имеют универсальный вид, определяемый теорией подобия.

Прежде всего подобными могут быть процессы, протекающие в геометрически подобных системах. Далее необходимой предпосылкой подобия процессов теплообмена при свободной конвекции должно быть подобие температурных полей на поверхностях нагрева или охлаждения. При выполнении этих требований стационарные процессы свободной конвекции будут подобны, если выполняются условия:

Число характеризует относительную эффективность подъемной силы, вызывающей свободно-конвективное движение среды; оно имеет вид:

где g — ускорение свободного падения; р — температурный коэффициент объемного расширения среды; характерный температурный напор; l — характерный линейный размер системы; v — кинематический коэффициент вязкости.

Число является теплофизической характеристикой теплоносителя:

Условия (2-48) и (2-49) обеспечивают подобие процессов свободной конвекции, т. е. подобие полей температурных напоров, тепловых потоков и скоростей в геометрически подобных системах. При выполнении этих условий определяемое число подобия — число Нуссельта Nu — также оказывается одним и тем же в таких системах:

Уравнение подобия для процессов теплообмена при свободной конвекции имеет вид:

Вывод чисел подобия можно получить из анализа математического описания процессов свободной конвекции. В таких процессах гидродинамическая и тепловая стороны явления оказываются взаимосвязанными.

Система дифференциальных уравнений для процессов свободной конвекции имеет вид:

Коэффициент теплоотдачи определяется уравнением

В эти уравнения температура входит лишь в виде производных или разностей, а давление р — в виде производной. Это означает, что для процесса существенны лишь температурные напоры и перепады давлений , подобие полей которых и следует рассматривать при формулировке подобия процессов. Согласно общему определению подобия для двух подобных процессов постоянные подобия и аналогично для физических параметров

во всех сходственных точках систем, определяемых условием

есть постоянные числа.

Далее, поступая совершенно так же, как и в предыдущих случаях [т. е. записывая систему уравнений (2-54) — (2-56) для этих двух процессов и заменяя в одной из них все величины, выраженные через постоянные подобия, на соответствующие величины для второй системы], в итоге получаем условия связи между постоянными подобия.

Уравнение теплопроводности (2-54) приводит к уже известному условию теплового подобия:

В уравнение движения (2-55) [по сравнению с уравнением (2-16), рассмотренным ранее] дополнительно входит подъемная сила. Поэтому ранее полученное условие динамического подобия (2-21) теперь включает еще одну величину:

Уравнение неразрывности (2-56) не дает, как и раньше, ограничений для выбора постоянных подобия. Из уравнения (2-57), так же как и в случае вынужденного движения, имеем:

Теперь преобразуем полученные соотношения. Из условия (2-59) следует:

Условие динамического подобия (2-60) после попарного рассмотрения равенств дает три соотношения:

Поскольку в процессе свободной конвекции скорость есть функция процесса, целесообразно исключить константу подобия из остальных соотношений, используя равенство . Тогда четыре предыдущих соотношения перепишутся в виде

И, наконец, условие (2-61) запишем в виде

Подставляя в уравнения (2-62) — (2-66) вместо постоянных подобия их значения из уравнения (2-58), имеем:

Числа Прандтля и Грасгофа составлены из величин, заданных в условиях однозначности; эти числа подобия являются определяющими для процессов теплообмена при свободной конвекции. Остальные три числа подобия содержат величины, являющиеся функцией процесса: скорость , перепад давлений и коэффициент теплоотдачи а; это определяемые числа подобия. Согласно третьей теореме подобия их инвариантность является следствием установившегося подобия, если обеспечена одинаковость (инвариантность) определяющих чисел подобия (критериев подобия): .

Интенсивность теплоотдачи определяется числом Нуссельта Nu, поэтому уравнение подобия для теплоотдачи при свободной конвекции имеет вид:

Два остальных определяемых числа подобия из уравнений (2-69) и (2-70) характеризуют гидромеханические величины — скорости и перепады давлений, возникающие в процессах свободной конвекции. Оба эти числа подобия также являются функциями . Поэтому для каждого из них могут быть записаны свои уравнения подобия такого же вида, как уравнение подобия для теплообмена (2-53). Эти уравнения следует применять для обобщения опытных данных по гидромеханическим характеристикам процессов свободной конвекции, если эта сторона процесса представляет также интерес для практики. Однако обычно эти сведения необходимы при решении лишь некоторых специальных задач.

Условия подобия процессов конвективного теплообмена при совместном свободно-вынужденном движении теплоносителя. Анализ условий подобия раздельно для случаев вынужденного движения и свободной конвекции был проведен выше. На практике, однако, встречаются также случаи, когда одновременно с вынужденным движением в системе под действием подъемных сил развиваются токи свободной конвекции, т. е. имеет место свободно-вынужденное течение теплоносителя. В таком более сложном случае для выполнения условий подобия процессов необходима инвариантность (одинаковость) уже не двух, а трех определяющих чисел подобия: Рейнольдса Re, Грасгофа Gr и Прандтля Рr. Соответствующее уравнение подобия для теплоотдачи при совместном свободно-вынужденном движении принимает вид:

Это уравнение подобия представляет собой общее соотношение, из которого соотношения (2-34) и (2-53) вытекают как частные случаи. Когда влияние подъемных сил, характеризуемых числом Gr, перестает быть существенным, в уравнении подобия (2-72) это число может быть опущено и оно переходит в уравнение (2-34). Напротив, когда вынужденное движение прекращается, число Re перестает быть определяющим и из уравнения (2-72) получаем уравнение (2-53).

При совместном свободно-вынужденном движении гидромеханические и тепловые процессы взаимосвязаны, поэтому определяемое число подобия Эйлера Ей можно представить в виде

т. е. оно является функцией тех же определяющих чисел подобия.

Приведенные выше условия подобия относятся к стационарным процессам конвективного теплообмена. Для нестационарных процессов, т. е. процессов, изменяющихся во времени, необходимо добавить еще одно условие, определяющее временное подобие процессов:

где а — коэффициент температуропроводности жидкости; — время: — характерный геометрический размер.

Число подобия называют числом Фурье.

Числа подобия и уравнения подобия. Подведем итоги анализа. Приложение к процессам конвективного теплообмена общих принципов учения о подобии физических явлений позволяет установить условия, определяющие подобие этих процессов, и получить уравнения подобия (2-34), (2-53), (2-73), которые служат основой при обобщении опытных данных и моделировании тепловых процессов.

Иногда при обобщении экспериментальных данных по теплообмену в качестве чисел подобия применяются некоторые сочетания, образованные из чисел, входящих в основное уравнение (2-72).

Такие преобразованные числа подобия имеют свои названия; приведем основные из них.

Числом Пекле Ре называется произведение чисел Re и Рr:

где w — характерная для процесса скорость течения теплоносителя; — характерный геометрический размер системы; а — коэффициент температуропроводности теплоносителя.

Числом Стантона St называется частное от деления числа Nu на число Ре:

где а — коэффициент теплоотдачи; — удельная теплоемкость при постоянном давлении теплоносителя; р — плотность теплоносителя; w — характерная скорость.

Произведение числа Gr на число Рr иногда называют числом Релея Ra:

где g — ускорение свободного падения; р — температурный коэффициент объемного расширения теплоносителя; характерный температурный напор; — характерный линейный размер; v — кинематический коэффициент вязкости теплоносителя; а — коэффициент температуропроводности теплоносителя.

При использовании этих чисел подобия уравнения подобия принимают внешне иной вид, хотя по существу это лишь иная форма записи той же самой связи между величинами.

Поясним это на следующем примере. Пусть для определенного процесса теплоотдачи при вынужденном движении теплоносителя в итоге обобщения опытных данных получена зависимость

где постоянный числовой коэффициент; — постоянные показатели степени.

Если разделить обе части этого уравнения на величину , то его можно записать также в виде:

Наконец, вместо числа Re в уравнение можно ввести величину . Тогда получим:

Ясно, что эти три соотношения представляют собой просто три разные формы записи одной и той же зависимости.

Этот пример показывает, что разные по внешнему виду уравнения подобия, как

в действительности представляют лишь разную форму записи одной и той же функциональной зависимости.

Для нестационарных процессов иногда вместо числа Фурье применяется иное число подобия, называемое числом гомохронности Но:

где — время.

Условия подобия процессов конвективного теплообмена получены в предположении, что коэффициент теплопроводности , коэффициент вязкости и удельная теплоемкость при постоянном давлении среды постоянны во всей области протекания процесса. В действительности эти физические свойства зависят от температуры, причем для разных теплоносителей характер зависимостей различен. В процессе теплообмена температура теплоносителя изменяется, следовательно, в общем случае и физические свойства не остаются постоянными. Подобие процессов выполняется тем строже, меньше относительное изменение этих свойств, т. е. чем слабее зависимость от чем меньше сами температурные напоры в системе и ниже тепловые потоки. При значительном изменении свойств строгое подобие различных процессов, как показывает анализ, в общем случае становится невозможным. В этих условиях имеет место лишь приближенное подобие. Это обстоятельство должно учитываться при обобщении опытных данных.