10-6. ПЕРЕДАЧА ТЕПЛОТЫ ЧЕРЕЗ РЕБРА

Оребрение поверхности нагрева производится с целью интенсификации теплопередачи. Если оребрение задано и значение коэффициента теплоотдачи для оребренной поверхности известно, то расчет теплопередачи через ребристую стенку никаких затруднений не составляет (см. § 6-5).

Другое дело, когда требуется рассчитать само оребрение, т. е. определить наиболее рациональную форму и размеры ребра. При этом в задачу расчета входит распределение температуры по ребру, количество снимаемой теплоты, гидравлическое сопротивление, масса и стоимость оребренной поверхности нагрева. Кроме того, в зависимости от назначения ребристых поверхностей к ним обычно предъявляется ряд дополнительных требований. В одних случаях требуется, чтобы габариты теплообменника были минимальными, в других, чтобы минимальной была масса, в третьих, чтобы использование материала было наиболее эффективным и т. д. В полном объеме такая задача может быть решена только на основе эксперимента и то лишь в том случае, если заданы конкретные условия работы поверхности нагрева и предъявляемые к ней требования. Вместе с этим имеются и математические решения задачи. Правда, эти решения очень сложны, и возможны они лишь при целом ряде упрощающих предпосылок. Но несмотря на это, они ценны и с успехом могут быть использованы, хотя бы в предварительных расчетах, тем более, что при решении технических задач методика расчета может быть значительно упрощена.

1. Прямое ребро постоянной толщины. Пусть имеется прямое ребро, толщина которого , высота h и длина l (рис. 10-10). Коэффициент теплопроводности материала Температуру окружающей среды условно примем равной нулю. Температура ребра изменяется лишь по высоте, т. е. , в основании и на конце ребра температуры соответственно и . Для боковой поверхности ребра коэффициент теплоотдачи а для торцевой .

Решение этой задачи тождественно решению предыдущей. Формулы, выведенные ранее для стержня конечной длины, справедливы и для прямого ребра постоянной толщины.

В соответствии с принятыми здесь обозначениями уравнения (10-32) и (10-33) принимают вид:

    (10-37)

    (10-38)

Рис. 10-10. Прямое ребро постоянного сечения.

Рис. 10-11. Прямое ребро трапециевидного сечения.

Здесь , ибо для плоских ребер .

Если теплоотдачей с торца пренебречь, то получим:

    (10-40)

и

В практических расчетах вместо точных формул (10-37) и (10-38) можно пользоваться упрощенными — (10-39) и (10-40). Теплоотдача с торца при этом довольно точно учитывается путем условного увеличения высоты ребер на половину их толщины; поверхность торца как бы развертывается на боковые грани ребра.

2. Прямое ребро переменной толщины. Решая задачу о наивыгоднейшей форме ребра, Э. Шмидт пришел к выводу, что наиболее выгодным является ребро, ограниченное двумя параболами. Стремясь по возможности приблизиться к такой форме ребра, очень часто ребра изготовляют не постоянного сечения, а с утонением от основания к торцу, придавая им трапециевидное или треугольное сечение.

Пусть имеется ребро трапециевидного сечения. Условия работы те же, что и в предыдущем случае; размеры и обозначения приведены на рис. 10-11. За начало координат целесообразно принять вершину треугольника. В этом случае направление теплового потока противоположно направлению оси абсцисс.

При стационарном режиме изменение количества теплоты, проходящего через сечения , определяется теплоотдачей с боковой поверхности рассматриваемого элемента, поэтому

Имея в виду, что , и произведя дифференцирование, получим:

Если ввести новую переменную , то уравнение (б) принимает вид:

Общее решение уравнения (в) имеет вид:

где и — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Значения этих функций приведены в табл. П-14.

Окончательные интересующие нас расчетные формулы для и Q очень сложны. Но если теплоотдачей с торца пренебречь, они несколько упрощаются. Приведением этих упрощенных формул здесь мы и ограничимся:

где и — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода первого порядка;

где

При пользовании этими формулами теплоотдача с торца учитывается увеличением высоты ребра на половину толщины его торца.

Если ребро имеет не трапециевидное, а треугольное сечение, то расчетные формулы принимают вид:

    (10-47)

Теоретически сужение ребра должно сопровождаться увеличением количества снимаемой теплоты. Однако, как показывают сравнительные расчеты, это справедливо лишь для относительно высоких ребер, когда определяющим является термическое сопротивление самого ребра. Для относительно низких ребер термическое сопротивление ребра невелико и определяющим является термическое сопротивление теплоотдачи. В этом случае суженное сечение ребра оказывается хуже прямоугольного. При этом в качестве характеристики относительной высоты ребра следует брать величину где h — высота, а — средняя толщина ребра. В таком именно соотношении геометрические размеры входят в уравнения (10-39) и (10-40).

Рис. 10-12. — вспомогательный график для расчета ребер трапециевидного и треугольного сечений.

Рис. 10-13. Круглое ребро постоянного сечения.

Для практических расчетов формулы (10-43) — (10-47) слишком сложны. Но при помощи вспомогательных кривых рис. 10-12 расчет передачи теплоты через прямые ребра и трапециевидного и треугольного сечений может быть значительно упрощен и сведен к расчету по формулам (10-39) и (10-40) для ребра прямоугольного сечения постоянной толщины.

В этом случае

    (10-48)

где — количество передаваемой теплоты в единицу времени; — поверхность охлаждения трапециевидного или треугольного ребра; q = Q/F — плотность теплового потока для прямоугольного ребра, длина, высота и толщина которого равны длине, высоте и средней толщине суженного ребра; — поправочный коэффициент на суженность ребра; его значение определяется по кривым рис. 10-12.

Здесь по оси абсцисс нанесено отношение температурных напоров по оси ординат — значение , а отношение выбрано в качестве параметра. Нижняя кривая на рисунке соответствует ребру постоянной толщины, ; верхняя — треугольному ребру, . Отношение определяется по формуле (10-39); теплоотдача с торца при этом учитывается путем увеличения высоты ребра h на половину толщины торца.

3. Круглое ребро постоянной толщины. Круглые ребра применяются при оребрении труб. Уравнение передачи теплоты через такое ребро выводится следующим образом.

Пусть имеется труба с круглым ребром постоянной толщины. Внутренний радиус ребра и внешний , толщина и коэффициент теплопроводности (рис. 10-13). Температуру окружающей среды условно принимаем равной нулю. Температура ребра изменяется лишь в направлении радиуса заданы коэффициент теплоотдачи а и температуры в основании и на конце ребра соответственно.

Для элементарного кольца с радиусами и при стационарном режиме можно написать:

Ho можно выразить и через коэффициент теплоотдачи, а именно:

Приравнивая друг другу правые части уравнений (г) и (д), произведя сокращение на , получаем:

Если положить , то

Подставляя эти значения в уравнение (е), окончательно имеем:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

где — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка; — потоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

Если теплоотдачей с торца пренебречь, то расчетные формулы для и Q приобретают следующий вид:

    (10-52)

где

При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным увеличением высоты ребра, т. е. , на половину толщины торца. Для относительно невысоких ребер теплоотдача торца имеет весьма существенное значение.

Для технических целей методика расчета круглых ребер может быть значительно упрощена и при помощи кривых на рис. 10-14 сводится к расчету прямого ребра постоянной толщины. В этом случае

    (10-53)

где Q" — количество снимаемой теплоты; F" — поверхность охлаждения круглого ребра; q = Q/F — количество теплоты, передаваемое в единицу времени единицей поверхности прямого ребра, толщина которого равна толщине круглого, а длина равна — поправочный коэффициент, , и его значение находится по кривым на рис. 10-14. Здесь по оси абсцисс нанесено отношение температурных напоров для прямого ребра постоянной толщины, определяемое по уравнению (10-44), а по оси ординат — значение . Отношение выбрано в качестве параметра, верхняя предельная кривая соответствует прямому ребру .

Влияние сужения круглого ребра приближенно может быть оценено при помощи кривых на рис. 10-12.

Пример 10-3. Какое количество теплоты передается через железное ребро толщиной мм, высотой мм и длиной и каков температурный напор 02 на конце ребра, если коэффициент теплопроводности железа , коэффициент теплоотдачи и избыточная температура в основании ребра .

Сначала произведем расчет по упрощенным формулам, пренебрегая теплоотдачей с торца. В этом случае

Из табл. П-13 находим:

Далее согласно формуле (10-39) имеем:

и согласно формуле (10-40):

Если расчет произвести по точным формулам (10-37) и (10-38), то получим:

Если же расчет произвести по формулам (10-39) и (10-40), а теплоотдачу с торца учесть путем условного увеличения высоты ребра на половину его толщины, то получим:

В последнем случае результаты расчета получаются такими же, как и при расчете по точным формулам (10-37) и (10-38).

Рис. 10-14. — вспомогательный график для расчета круглых ребер постоянного сечения.

Пример 10-4. Определить количество теплоты, снимаемое с прямого ребра трапециевидного сечения длиной , высотой при коэффициенте теплоотдачи , коэффициент теплопроводности материала ребра .

При расчете по формулам (10-43) и (10-44) получим:

При расчете по упрощенному методу соответствующее ребро прямоугольного сечения должно иметь толщину . Производя расчет для этого ребра по формулам (10-39) и (10-40), получаем:

Далее определяются

и из рис. 10-12 значение поправочного коэффициента .

Используя формулу (10-48), имеем:

т. е. в точности такое же количество теплоты, как и при расчете по формуле (10-44).

Пример 10-6. Рассчитать теплоотдачу круглого чугунного ребра постоянной толщины ; внутренний радиус ребра и наружный , коэффициент теплоотдачи , коэффициент теплопроводности чугуна .

При расчете по формулам (10-51) и (10-52) с учетом теплоотдачи с торца имеем:

При расчете по упрощенному методу получим: условная высота прямого ребра . Далее, по формулам (10-39) и .

Поверхность прямого ребра при равна . Следовательно, . Из рис. 10-14 при находим и так как , то, подставляя полученные значения в формулу (10-53), окончательно имеем: , т. е. то же значение, что и по формуле (10-52).