ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ОТДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛООБМЕНА

10-1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛООБМЕНА

Гидродинамическая теория теплообмена основана на идее Рейнольдса об единстве процессов переноса теплоты и количества движения в турбулентных потоках. Такое представление позволяет установить связь между теплоотдачей и гидравлическим сопротивлением. Несмотря на условность ряда допущений, значение гидродинамической теории заключается в том, что она вскрывает физическую сущность процесса и объясняет механизм переноса теплоты при турбулентном режиме течения жидкости.

При движении жидкости всегда возникает сила сопротивления, обусловленная непрерывным переносом и обменом количеств движения между слоями жидкости, имеющими разные скорости. Этот перенос происходит вследствие турбулентного перемешивания жидкости. При установлении связи между теплоотдачей и сопротивлением Рейнольдс исходил из следующих соображений.

Частицы жидкости, находящиеся в ядре потока и обладающие скоростью w, попадая в пристенный слой, тормозятся и принимают там скорость . Затем эти частицы вытесняются другими и снова возвращаются в турбулентное ядро. Такое перемещение отдельных масс жидкости из ядра в пристенный слой и обратно повторяется непрерывно.

Если количество жидкости, поступающей в единицу времени в пристенный слой, обозначить , то на основании закона импульсов сила сопротивления движению определится выражением

При наличии теплообмена температура частиц жидкости в ядре и пристенном слое различна. Поэтому при турбулентном обмене одновременно с переносом количества движения происходит также перенос теплоты. Пусть температура в ядре потока , а в пристенном слое ; тогда количество теплоты, переданное из ядра в пристенный слой при турбулентном обмене, равно:

Если разделить уравнение (б) на уравнение (а), то неизвестная величина сократится:

или, так как , имеем:

Уравнение (10-1) представляет собой основное соотношение, полученное Рейнольдсом в 1874 г. [118]. В дальнейшем оно было названо аналогией Рейнольдса.

Если принять, что пристенный слой жидкости неподвижен и его температура равна температуре стенки то из уравнения (10-1) получаем:

Именно такое выражение для теплового потока и было получено Рейнольдсом, который предполагал, что пристенный слой жидкости неподвижен.

В действительности же в пристенном слое скорость жидкости не равна нулю, и температура не равна температуре стенки (см. гл. 3). Это обстоятельство должно быть соответствующим образом учтено. В 1910 г. Л. Прандтль [117] впервые провел такое уточнение метода Рейнольдса. Позднее этот вопрос рассматривался также в работах других исследователей.

Вблизи стенки в турбулентном потоке существует тонкий вязкий подслой, в котором преобладают силы молекулярной вязкости, а касательное напряжение s постоянно. Поэтому на основе закона Ньютона выражение для s можно записать в виде

Толщина вязкого подслоя является в известной степени условной величиной. В действительности по мере удаления от стенки интенсивность турбулентного перемешивания нарастает непрерывно, и постепенно часть касательного напряжения s начинает определяться уже не только молекулярной вязкостью, но и турбулентным механизмом переноса количества движения. На расстоянии, равном примерно

эти составляющие оказываются одного порядка; при еще больших расстояниях от стенки турбулентный механизм переноса количества движения оказывается основным. Соотношение (д) можно рассматривать как определение толщины вязкого подслоя. Тогда из уравнений (г) и (д) можно найти значение скорости жидкости на расстоянии :

Поскольку значение касательного напряжения s может быть выражено также через коэффициент сопротивления трения по соотношению (см. гл. 3)

то значение скорости в уравнении (г) равно:

Если учитывать это выражение, то основная формула (10-1) аналогии Рейнольдса теперь может быть записана в виде

Далее нужно учесть температурный напор в пристенном слое жидкости. У самой стенки перенос теплоты осуществляется путем молекулярной теплопроводности. Плотность теплового потока q является постоянной величиной. Поэтому на основе закона Фурье выражение для q можно записать в виде

Величина представляет собой толщину теплового подслоя, т. е. то расстояние от стенки, при котором перенос теплоты путем теплопроводности и вследствие турбулентного перемешивания частиц оказываются соизмеримыми; при еще большем расстоянии турбулентный механизм переноса теплоты становится основным. В общем случае при величина не совпадает с ; связь между ними определяется соотношением

которое справедливо при

Решим теперь уравнения (и) и (к) относительно температурных перепадов:

и сложим почленно эти соотношения. Тогда температура сократится, и в итоге получим:

Последнее слагаемое в скобках в правой части уравнения (м) можно преобразовать с помощью уравнений (д), (ж) и (л) к виду .

Учитывая это и решая уравнение (м) относительно окончательно получаем:

Это уравнение в отличие от уравнения (10-2) теперь учитывает влияние пристенного слоя жидкости.

Сопоставляя уравнения (10-3) и (10-2), замечаем, что они различаются между собой лишь множителем

который представляет собой искомую поправку, учитывающую движение жидкости и перенос теплоты в пристенном слое. При поправка и уравнение (10-3) переходит в уравнение (10-2). Этому требованию приближенно удовлетворяют газы. Последнее обстоятельство служит объяснением тому, что уравнение (10-2) довольно хорошо совпадает с опытными данными для газов и плохо для капельных жидкостей . Соотношение (10-3), учитывающее влияние пристенного слоя жидкости, уже значительно лучше совпадает с опытными данными для различных жидкостей, имеющих . Уравнение (10-3) можно записать также в виде

Если теперь обе части этого равенства умножить на диаметр трубы и разделить на коэффициент теплопроводности жидкости X, то оно примет вид:

Итак, согласно гидродинамической теории теплообмена для определения коэффициента теплоотдачи достаточно иметь значение коэффициенту гидравлического сопротивления , значения физических свойств жидкости и значение скорости w.

Однако следует помнить, что эта теория применима лишь при выполнении следующих условий: 1) развитое турбулентное течение жидкости; 2) отсутствие большого изменения давления; 3) наличие безотрывного движения жидкости. Гидродинамическая теория не учитывает зависимость физических свойств жидкости от температуры.

Автор [96] показал, что уравнение (10-4) может быть обобщено для расчета теплоотдачи при высоких скоростях движения газа (см. § 10-2).