1-5. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТЕЛ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛОТЫ

На практике могут встретиться случаи, когда теплота возникает внутри объема тела за счет внутренних источников, например за счет прохождения электрического тока, химических реакций, ядерного распада и т. п. Поскольку объемное тепловыделение может быть не только равномерным, но и неравномерным, для таких процессов важным является понятие мощности внутренних источников теплоты. Эта величина, обозначаемая , определяет собой количество теплоты, выделяемое единицей объема тела в единицу времени, она измеряется в Вт/м3.

При поглощении теплоты внутри объема тела, например при эндотермической реакции, величина отрицательна; она характеризует интенсивность объемного стока теплоты.

При наличии внутренних источников (стоков) теплоты основной задачей является расчет температурного поля внутри тела.

Рис. 1-15. Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников теплоты.

1. Теплопроводность плоской стенки. Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной , коэффициент теплопроводности которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты . Выделившаяся теплота через боковые поверхности стенки передается в окружающую среду. Относительно площади стенки в среднем сечении процесс теплопроводности будет протекать симметрично, поэтому именно здесь целесообразно поместить начало координат, а ось х направить перпендикулярно боковым поверхностям (рис. 1-15). Из уравнения теплового баланса следует, что при наличии внутренних источников теплоты плотность теплового потока в плоской стенке линейно возрастает с увеличением х и равна:

Из этого уравнения видно, что при , а при , т. е. достигает своего максимального значения. Согласно закону Фурье

Произведя разделение переменных, имеем:

Интегрируя это уравнение, получаем:

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При уравнение изменения температуры принимает вид:

    (1-26)

При ; в этом случае из уравнения (1-26) следует:

Здесь разность означает перепад температуры между серединой и внешними поверхностями плоской стенки, — плотность теплового потока на этих граничных поверхностях (при ).

Если температура неизвестна, то значение постоянной С можно выразить через и уравнение температурной кривой в этом случае принимает вид:

Приведенные выводы показывают, что при наличии равномерно распределенных внутренних источников теплоты распределение температур в плоской стенке носит параболический характер. Наибольшее значение температура имеет в средней плоскости .

Рис. 1-16. Теплопроводность круглого стержня при наличии внутренних источников теплоты.

При больших перепадах температуры необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, . В этом случае уравнение (в) принимает следующий вид:

Интегрируя уравнение (д), получаем:

При . Подставляя значение С в уравнение (е) и решая последнее относительно t, получаем следующее уравнение температурной кривой [сравни с (1-26)]:

2. Теплопроводность круглого стержня. Рассмотрим бесконечно длинный стержень (цилиндр) с радиусом (рис. 1-16), коэффициент теплопроводности которого постоянен. Внутри этого стержня имеются равномерно распределенные источники теплоты Выделившаяся теплота через внешнюю поверхность стержня передается в окружающую среду. Уравнение теплового баланса для любого цилиндрического элемента внутри стержня, радиуса r и длиной l имеет вид:

Отсюда следует, что при наличии внутренних источников теплоты в стержне плотность теплового потока изменяется пропорционально радиусу:

Из этого уравнения видно, что при , а при , т. е. достигает своего максимального значения.

Согласно закону Фурье

Произведя разделение переменных, имеем:

Интегрируя уравнение (и), получаем:

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При , уравнение температурной кривой принимает вид:

При , в этом случае , и уравнение (к) принимает следующий вид:

Вычитая из уравнения (1-30) уравнение (1-31), получаем перепад температуры по радиусу стержня:

где .

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры , то, подставляя это значение в уравнение (и), будем иметь:

Интегрируя это уравнение, получаем:

3. Теплопроводность цилиндрической стенки. Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним радиусом и внешним , коэффициент теплопроводности которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты . Выделившаяся в стенке теплота может отводиться в окружающую среду либо только через внешнюю, либо только через внутреннюю, либо одновременно через обе поверхности трубы.

а) Теплота отводится через внешнюю поверхность трубы. Выделим в толще стенки кольцевой слой с радиусами и , ограниченный изотермическими поверхностями (рис. 1-17). Согласно закону Фурье через поверхность радиуса переносится тепловой поток, отнесенный к единице длины:

В рассматриваемом случае . Подставляя это значение в уравнение (н) и производя преобразование, получаем:

Рис. 1-17. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты с отводом теплоты через наружную поверхность.

Рис. 1-18. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты с отводом теплоты через внутреннюю поверхность.

Значение постоянной интегрирования С определяется из граничных условий. При . Подставляя это значение в уравнение (м) и решая последнее относительно , получаем следующее уравнение температурной кривой [сравни с :

Интегрируя уравнение (о), имеем:

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При

Подставляя значение С в уравнение (п), получаем уравнение температурной кривой

Полагая в этом уравнении , получаем перепад температуры в стенке:

или

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры , то уравнение температурной кривой принимает следующий вид:

б) Теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы. Схема процесса показана на рис. 1-18. Вывод расчетных формул здесь совершенно такой же, как и в предыдущем случае. Поэтому итоговые уравнения для поля температур и температурного перепада здесь ничем не будут отличаться от уравнений [1-34) — (1-36), за исключением того, что в них везде индексы 1 и 2 меняются на противоположные (т. е. на 2 и 1). Эти уравнения в форме, удобной для практических расчетов, имеют вид:

уравнение температурной кривой

перепад температур в стенке:

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры , то уравнение температурной кривой принимает следующий вид:

в) Теплота отводится через обе поверхности трубы. В первом случае (а) наивысшую температуру имеет внутренняя поверхность трубы, во втором (б) — внешняя, а в третьем (в) такая поверхность находится где-то внутри стенки; для нее . Положим, что радиус этой поверхности равен , а температура (рис. 1-19). Тогда, используя уравнения (1-35) и (1-38), будем иметь:

и

Вычитая левые и правые части этих уравнений, получаем:

Решая уравнение (т) относительно , имеем:

Рис. 1-19. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты с отводом теплоты через обе поверхности одновременно.

Подставляя найденное значение в уравнения (р) и (с), определяем значение . Если , то уравнение (1-40) упрощается и принимает следующий вид:

    (1-40а)

Последнее означает, что в этом случае от тепловых условий не зависит и определяется лишь размерами трубы (например, при ).

Пример 1-9. По стержню из нержавеющей стали диаметром 10 мм проходит электрический ток, вызывающий объемное выделение теплоты мощностью . На поверхности стержня поддерживается температура . Найти температуру на оси стержня и плотность теплового потока на внешней поверхности стержня, если коэффициент теплопроводности стал» .

Перепад температур определяем по формуле (1-32):

Температура на оси стержня

Плотность теплового потока на поверхности стержня определяется по соотношению (ж):