ГЛАВА ПЯТАЯ. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

5-1. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Как известно, носителями лучистой энергии являются электромагнитные колебания с длиной волны от малых долей микрона до многих километров. В зависимости от диапазона длин волн такие излучения известны под разными названиями: рентгеновские, ультрафиолетовые, световые, инфракрасные лучи, радиоволны.

Примерная классификация их следующая [18]:

Это деление сложилось исторически: в действительности какой-либо резкой границы по длинам волн не существует.

С квантовой точки зрения лучистый поток представляет собой поток некоторых частиц-фотонов, энергия которых равна , где — постоянная Планка и v — частота колебаний эквивалентного электромагнитного поля. Напомним, что длина волны связана с частотой колебания v соотношением , где с — скорость распространения колебаний (в вакууме ).

Для нас наибольший интерес представляют те лучи, возникновение которых определяется только температурой и оптическими свойствами излучающего тела. Такими свойствами обладают световые и инфракрасные лучи, т. е. лучи с длиной волны приблизительно от 0,5 до 800 мкм. Эти лучи и называют тепловыми, а процесс их распространения — тепловым излучением.

Природа тепловых и световых излучений одна и та же. Разница между ними лишь в длине волны; световые лучи имеют длину волны 0,4—0,8, а тепловые 0,8—800 мкм. Законы же распространения, отражения и преломления, установленные для световых лучей, справедливы и для тепловых. Поэтому, чтобы лучше себе представить какие-либо сложные явления теплового излучения, всегда закономерно проводить аналогию со световым излучением, которое нам больше известно и доступно непосредственному наблюдению.

Тепловое излучение свойственно всем телам, и каждое из них излучает энергию в окружающее пространство. При попадании на другие тела эта энергия частью поглощается, частью отражается и частью проходит сквозь тело. Та часть лучистой энергии, которая поглощается телом, снова превращается в тепловую. Та часть энергии, которая отражается, попадает на другие (окружающие) тела и ими поглощается. То же самое происходит и с той частью энергии, которая проходит сквозь тело. Таким образом, после ряда поглощений энергия излучения полностью распределяется между окружающими телами. Следовательно, каждое тело не только непрерывно излучает, но и непрерывно поглощает лучистую энергию.

В результате этих явлений, связанных с двойным взаимным превращением энергии (тепловая—лучистая—тепловая), и осуществляется процесс лучистого теплообмена.

Количество отдаваемой или воспринимаемой теплоты определяется разностью между количествами излучаемой и поглощаемой телом лучистой энергии. Такая разность отлична от нуля, если температура тел, участвующих во взаимном обмене лучистой энергией, различна.

При одинаковой температуре этих тел вся система находится в так называемом подвижном тепловом или термодинамическом равновесии. В этом случае все тела системы также излучают и поглощают, только для каждого из них приход лучистой энергии равен ее расходу.

Виды лучистых потоков. Суммарное излучение, проходящее через произвольную поверхность F в единицу времени, называется потоком излучения Q, Вт. Лучистый поток, испускаемый с единицы поверхности по всем направлениям полусферического пространства, называется плотностью потока излучения Е, Вт/м2:

Рис. 5-1. Схема распределения падающей лучистой энергии.

Поток излучения и плотность потока излучения содержат лучи различных длин волн, поэтому эти характеристики излучения также называются интегральными. Излучение, соответствующее узкому интервалу изменения длин волн от до , называется монохроматическим.

Пусть из всего количества энергии , падающей на тело, часть поглощается, часть отражается и часть проходит сквозь тело (рис. 5-1), так что

Деля обе части этого равенства на , получаем:

или

Первый член соотношения (а) характеризует собой поглощательную способность А, второй — отражательную способность R и третий — пропускательную способность тела D. Все эти величины имеют нулевую размерность и изменяются лишь в пределах от 0 до 1.

Если , то ; это означает, что вся падающая лучистая энергия полностью поглощается телом. Такие тела называются абсолютно черными.

Если , то ; это означает, что вся падающая лучистая энергия полностью отражается.

При этом если отражение правильное, тела называются зеркальными; если же отражение диффузное — абсолютно белыми.

Если , то ; это означает, что вся падающая лучистая энергия полностью проходит сквозь тело. Такие тела называются прозрачными или диатермичными.

Абсолютно черных, белых и прозрачных тел в природе нет; в применении к реальным телам эти понятия условны. Значения и зависят от природы тела, его температуры и спектра падающего излучения. Например, воздух для тепловых лучей прозрачен, но при наличии в нем водяных паров или углекислоты он становится полупрозрачным.

Твердые тела и некоторые жидкости (например, вода, спирты) для тепловых лучей практически непрозрачны (атермичны), т. е. , в этом случае

Из соотношения (б) следует, что если тело хорошо отражает лучистую энергию, то оно плохо поглощает, и наоборот.

Вместе с этим имеются тела, которые прозрачны лишь для определенных длин волн. Так, например, кварц для тепловых лучей непрозрачен, а для световых и ультрафиолетовых прозрачен. Каменная соль, наоборот, прозрачна для тепловых и непрозрачна для ультрафиолетовых лучей. Оконное стекло прозрачно только для световых лучей, а для ультрафиолетовых оно почти непрозрачно.

То же относится и к понятиям поглощения и отражения. Белая по цвету поверхность хорошо отражает лишь световые лучи. В жизни это свойство широко используется: белые летние костюмы, белая окраска вагонов-ледников, цистерн и других сооружений, где инсоляция нежелательна. Невидимые же тепловые лучи белые ткань и краска поглощают так же хорошо, как и темные. Для поглощения и отражения тепловых лучей большее значение имеет не цвет, а состояние поверхности. Независимо от цвета отражательная способность гладких и полированных поверхностей во много раз выше, чем шероховатых. Для увеличения поглощательной способности тел их поверхность покрывается темной шероховатой краской. Для этой цели обычно применяется нефтяная сажа. Но и сажа поглощает всего лишь 90—96% падающей лучистой энергии, это еще не абсолютно черное тело. Такого тела в природе нет, но его можно создать искусственно. Свойством абсолютно черного тела обладает отверстие в стенке полого тела. Для этого отверстия А = 1, ибо можно считать, что энергия луча, попадающего в это отверстие, полностью поглощается внутри полого тела (рис. 5-2). В дальнейшем все величины, относящиеся к абсолютно черному телу, мы будем отмечать индексом 0.

Если на тело извне не падает никаких лучей, то с единицы поверхности тела отводится лучистый поток энергии . Он полностью определяется температурой и физическими свойствами тела. Это собственное излучение тела. Однако обычно со стороны других тел на рассматриваемое тело падает лучистая энергия в количестве , это падающее излучение. Часть падающего излучения в количестве поглощается телом — поглощенное излучение; остальное в количестве отражается — отраженное излучение (рис. 5-3). Собственное излучение тела в сумме с отраженным называется эффективным излучением тела, это фактическое излучение тела, которое мы ощущаем или измеряем приборами, оно больше собственного на величину .

Теперь рассмотрим основные законы теплового излучения.

Рис. 5-2. Ход луча в полом теле.

Рис. 5-3. К определению видов теплового излучения.

Эффективное излучение зависит от физических свойств и температуры не только данного излучающего тела, но и других окружающих его тел, а также от формы, размеров и относительного расположения тел в пространстве. Так как падающее излучение определяется температурой и свойствами окружающих тел, то физические качества собственного и отраженного излучения неодинаковы, их спектры различны. Однако для тепловых расчетов это различие часто не имеет значения, если рассматривается лишь энергетическая сторона процесса.

Результирующее излучение представляет собой разность между собственным излучением тела и той частью падающего внешнего излучения , которая поглощается данным телом, последняя равна . Таким образом:

Величина определяет поток энергии, который данное тело передает окружающим его телам в процессе лучистого теплообмена. Если величина оказывается отрицательной , это значит, что тело в итоге лучистого теплообмена получает энергию.

Закон Планка. Собственное излучение — это количество энергии, излучаемое единицей поверхности тела в единицу времени для всех длин волн от до . Однако для детального изучения явления важно также знать закон распределения энергии излучения по длинам волн при различных температурах . Величина представляет собой отношение плотности потока излучения, испускаемого в интервале длин волн от до к рассматриваемому интервалу длин волн

и называется спектральной плотностью потока излучения.

Закон изменения спектральной плотности потока излучения от длины волны и температуры для абсолютно черного тела Планку удалось установить теоретически:

где — длина волны, м; Т — абсолютная температура тела, К; — постоянные излучения, соответственно равные .

Рис. 5-4. Зависимость по закону Планка.

На рис. 5-4 закон Планка представлен графически. Из рисунка видно, что при плотность потока излучения стремится к нулю. С увеличением растет и при некотором значении достигает своего максимума, затем убывает и при снова стремится к нулю. С повышением температуры максимум плотности потока излучения смещается в сторону более коротких волн. Связь между температурой Т и устанавливается законом Вина:

Единица измерения произведения .

На рис. 5-4 площадь, ограниченная кривой Т = const, осью абсцисс и ординатами и (на рисунке эта площадь заштрихована), дает количество энергии , излучаемое участком длин волн следовательно, . Полное же количество лучистой энергии, излучаемое всеми длинами волн, очевидно, равно:

Из рисунка также видно, что при температурах, с какими имеют дело в технике, энергия видимого излучения по сравнению с энергией инфракрасного излучения пренебрежимо мала.

Для реальных тел изменение плотности потока излучения от длины волны и температуры может быть установлено только на основе опытного изучения их спектра. При этом, если спектр излучения непрерывен и кривая подобна соответствующей кривой для абсолютно черного тела при той же температуре, т. е. если для всех длин волн , то такое излучение называется серым. Опыт показывает, что излучение многих технических материалов практически можно рассматривать как серое излучение.

Формула (5-1) определяет распределение спектральной плотности потока излучения черного тела по длинам волны и температурам. Иногда при описании удобно использовать не длины волн X, а соответствующие им частоты . При этом спектральная плотность потока излучения относится к единичному интервалу частот

а закон Планка принимает вид:

где с — скорость света, м/с; h и k — постоянные Планка и Больцмана, равные соответственно .

Закон Стефана—Больцмана. Закон был установлен опытным путем Стефаном (1879 г.) и обоснован теоретически Больцманом (1881 г.). Он устанавливает зависимость плотности потока интегрального излучения от температуры. Для абсолютно черного тела из уравнений (д) и (5-1) имеем:

В результате интегрирования уравнения (е) можно получить:

где называется постоянной Стефана—Больцмана, она равна . Уравнение (5-2) носит название закона Стефана—Больцмана. В технических расчетах этот закон применяется в более удобной форме:

где — коэффициент излучения абсолютно черного тела:

Следовательно, энергия излучения пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Строго закон Стефана—Больцмана справедлив только для абсолютно черного тела. Однако опытами Стефана и других исследователей было показано, что этот закон может быть применен и к реальным телам. В этом случае он принимает вид:

Для различных тел коэффициент излучения с различен. Его значение определяется природой тела, состоянием поверхности и температурой; величина с всегда меньше и может изменяться в пределах от 0 до 5,67.

Сопоставляя плотность потока собственного излучения тела с плотностью потока излучения абсолютно черного тела при той же температуре, получаем другую характеристику тела, которая называется степенью черноты :

Значение изменяется в пределах от 0 до 1. Для технически важных материалов значения приведены в табл. Зная , легко подсчитать и поток собственного излучения Е. В этом случае расчетное уравнение (5-3) принимает вид:

Степень черноты характеризует полное или интегральное излучение тела, охватывающее все длины волн. Более детальной характеристикой тела является спектральная степень черноты

При фиксированной температуре величина в общем случае зависит от длины волны и может изменяться в пределах от 0 до 1. Для серого излучения согласно определению спектральная степень черноты есть постоянное число.

Закон Кирхгофа. Закон Кирхгофа устанавливает связь между собственным излучением тела и его поглощательной способностью. Эту связь можно получить из рассмотрения лучистого обмена между двумя поверхностями. Пусть имеются две поверхности, одна из которых — абсолютно черная. Расположены они параллельно и на таком близком расстоянии, что излучение каждой из них обязательно попадает на другую. Температуры, собственное излучение, поглощательные способности этих поверхностей соответственно равны причем (рис. 5-5). Составим энергетический баланс. С единицы левой поверхности в единицу времени излучается энергия в количестве Е.

Попадая на черную поверхность, эта энергия полностью ею поглощается. В свою очередь черная поверхность излучает энергию в количестве . Попадая на серую поверхность, эта энергия частично, в количестве , поглощается ею, остальная часть, в количестве отражается, снова попадает на черную поверхность и полностью ею поглощается. Таким образом, для левой. поверхности приход энергии равен , а расход Е. Следовательно, баланс лучистого обмена:

Взаимное тепловое излучение между поверхностями происходит и при . В этом случае система находится в термодинамическом равновесии и q = 0. Тогда из уравнения (и) имеем:

Полученное соотношение может быть распространено на любые тела, а потому его можно написать в виде

В такой форме закон Кирхгофа формулируется так: при термодинамическом равновесии отношение собственного излучения к поглощательной способности для всех тел одинаково и равно собственному излучению абсолютно черного тела при той же температуре.

Возможны и иные формы записи соотношения (5-5). Согласно уравнению ; подставляя это значение в уравнение (5-5) и сокращая температурные множители, получаем:

Отсюда следует, что

Далее из сопоставления уравнений (к) и (л) с уравнением (5-4) имеем:

В такой форме закон Кирхгофа показывает, что при термодинамическом равновесии поглощательная способность и степень черноты тела численно равны. Так как для реальных тел поглощательная способность всегда меньше единицы, то из соотношения (л) следует, что собственное излучение этих тел всегда меньше собственного излучения абсолютно черного тела при той же температуре. Следовательно, при любой температуре излучение абсолютно черного тела является максимальным.

Из закона Кирхгофа также следует, что собственное излучение тел тем больше, чем больше их поглощательная способность. Если поглощательная способность А тела мала, то и его собственное излучение Е мало. Поэтому тела, которые хорошо отражают лучистую энергию, сами излучают очень мало.

В уравнении (5-5) закон Кирхгофа приведен для интегрального излучения. Но он может быть применен и для монохроматического излучения.

В этом случае он формулируется так: отношение собственного излучения определенной длины волны к поглощательной способности при той же длине волны для всех тел одно и то же и является функцией только длины волны и температуры, т. е.

Имея спектр испускания (рис. 5-6, а), на основании выражения (5-6) можно построить спектр поглощения (рис. 5-6, б), и наоборот. Основанием для построения спектров служит соотношение

Рис. 5-5. К выводу закона Кирхгофа.

Рис. 5-6. Спектры излучения (а) и поглощения (б) тел. 1 — абсолютно черное тело; 2 — серое тело; 3 — газ.

Для любой длины волны отношение известно из рис. 5-6, а. На рис. 5-6, б, линия, параллельная оси , расположенная на расстоянии от нее, равном единице, соответствует кривой поглощения абсолютно черного тела. Уменьшая на этой диаграмме ординаты для каждой длины волны в том отношении, которое определяется из спектра испускания, мы получаем спектр поглощения данного тела.

Из соотношения (м), а также из рис. 5-6 видно, что если при какой-нибудь длине волны тело не поглощает энергию, то оно и не излучает ее. Поэтому тело, которое при данной длине волны является абсолютно белым или прозрачным, при этой длине волны энергию не излучает.

Закон Ламберта. Законом Стефана—Больцмана определяется количество энергии, излучаемое телом по всем направлениям.

Каждое направление определяется углом , который оно образует с нормалью к поверхности. Изменение излучения по отдельным направлениям определяется законом Ламберта. Согласно этому закону количество энергии, излучаемое элементом поверхности в направлении элемента (рис. 5-7), пропорционально количеству энергии, излучаемой по нормали умноженному на величину элементарного телесного угла , т. е.

Следовательно, наибольшее количество энергии поверхностью излучается в направлении нормали при ; с увеличением количество излучаемой энергии уменьшается, и при оно становится равным нулю.

Уравнение (5-7) является наиболее полной математической формулировкой закона Ламберта. Однако в этом уравнении пока неизвестно значение . Для его определения необходимо уравнение проинтегрировать по поверхности полусферы, лежащей над плоскостью и полученное выражение сопоставить с уравнением (5-3).

Плоский угол в абсолютных единицах измеряется отношением , где r — радиус круга, центр которого лежит в вершине угла, a s — дуга, на которую опирается этот угол. Бесконечно малый плоский угол измеряется отношением . Аналогичный способ применяется и для измерения телесного угла , единица измерения которого стерадиан Для этого возьмем сферу радиуса r с центром в вершине этого угла. На поверхности этой сферы телесный угол вырежет участок, имеющий площадь f; тогда

Если в сферических координатах обозначает долготу, а — полярное расстояние, то направления определяют бесконечно малый угол , который на сфере радиуса r вырезает сферический четырехугольник (рис. 5-8). Соответственно стороны этого четырехугольника равны . Следовательно, телесный угол равен:

Подставляя полученное выражение в выражение (5-7) и интегрируя по углам и , имеем:

Согласно уравнению (5-3) энергия, излучаемая элементом поверхности в полупространство, равна:

Так как левые части уравнений (н) и (о) равны, то, приравнивая друг другу их правые части, определяем неизвестную величину , а именно:

Из уравнения (5-8) следует, что плотность потока излучения в направлении нормали в раз меньше полной плотности потока излучения тела. После подстановки значения из уравнения (5-8) в уравнение (5-7) последнее принимает вид:

Это уравнение используется для расчета лучистого теплообмена между поверхностями конечных размеров (см. ниже).

Рис. 5-7. К выводу закона Ламберта. Излучение элемента в направлении элемента .

Рис. 5-8. К определению пространственного телесного угла в сферических координатах.

Закон Ламберта строго справедлив для абсолютно черного тела. Для шероховатых тел этот закон опытом подтверждается лишь для . В качестве примера на рис. 5-9 в полярных координатах представлена зависимость для некоторых материалов. В случае справедливости закона Ламберта значение должно оставаться постоянным для всех значений . В действительности же оказывается, что для шероховатых тел (кривые 1, 2 и 3) при значение уменьшается и стремится к нулю. Однако это уменьшение практического значения не имеет, ибо среднее значение . Более резкое отклонение от закона Ламберта наблюдается для полированных металлов (кривые 4-5 и 6). При значение увеличивается, а при оно стремится к нулю; в этом случае среднее значение .

Количество излучаемой энергии до сих пор мы определяли, исходя из величины потока энергии собственного излучения тела Е. Но наряду с этим об интенсивности лучеиспускания какого-либо источника можно судить по количеству энергии, приходящейся на единицу облучаемой им поверхности, по так называемой облучательной способности источника, что в светотехнике соответствует понятию освещенности. Облучательная способность определяется размерами источника излучения и его расстоянием до облучаемой поверхности, вернее соотношением этих величин.

Еще Кеплером было установлено, что облучательная способность точечного источника обратно пропорциональна квадрату расстояния. В самом деле, если точечный источник излучает энергию во все стороны равномерно в количестве , то для сферы радиуса r

Рис. 5-10. К выводу понятия облучательной способности точечного источника.

Рис. 5-9. Зависимость для шероховатых и полированных тел. 1 — дерево; 2 — корунд; 3 — окисленная медь; 4 — висмут; 5 — алюмннибронза; 6 — латунь.

Если при этом облучаемая площадка dF расположена так, что перпендикуляр к ней с радиусом образует угол (рис. 5-10), то количество энергии, падающей на эту площадку от точечного источника A, равно:

Закон обратной пропорциональности квадрату расстояния тем менее применим, чем больше размеры источника излучения по сравнению с расстоянием r. Это взаимоотношение нетрудно проследить расчетным путем. В пределе для бесконечно большого источника облучательная способность от расстояния не зависит. Именно на этом факте основано измерение температуры при помощи радиационного пирометра; показания пирометра не зависят от расстояния до тех пор, пока поверхность, температура которой измеряется, покрывает все поле зрения пирометра.

Облучательная способность тел, которые не могут рассматриваться ни как точечные, ни как бесконечно большие, в зависимости от соотношения между размерами тела и расстоянием г изменяется в границах, определяемых значениями показателя степени расстояния r (между 0 и 2).