10-5. ПЕРЕДАЧА ТЕПЛОТЫ ЧЕРЕЗ СТЕРЖЕНЬ

Рассмотрим передачу теплоты через призматический стержень, площадь сечения которого , а периметр сечения U. Стержень находится в среде, температуру которой условно примем равной нулю. Температура стержня изменяется лишь по его длине и является функцией только длины, т. е. . В основании стержня температура равна . Значения коэффициентов теплопроводности и теплоотдачи известны и равны . Требуется установить закон изменения температуры по стержню и количество передаваемой теплоты через стержень при стационарном тепловом режиме.

На расстоянии х от основания стержня выделим элемент длиной dx и составим для него уравнение теплового баланса (рис. 10-6).

Очевидно, что

Согласно закону Фурье

и

Следовательно,

С другой стороны,

Приравняв друг к другу уравнения (б) и (в) и произведя сокращение, получим:

где

Если не зависит от х, то . Тогда общий интеграл линейного дифференциального уравнения второго порядка (10-26) имеет следующий вид:

    (10-27)

Значения постоянных интегрирования и определяются из граничных условий. В зависимости от длины стержня эти условия различны, поэтому они будут рассмотрены раздельно.

Рис. 10-6. Теплопередача через бесконечно длинный стержень.

а) Стержень бесконечной длины. При и ; при или . Последнее справедливо лишь при условии . Таким образом,

Подставляя эти значения в уравнение (10-27), получаем

    (10-28)

Следовательно, . Имея в виду, что показатель степени является безразмерной величиной, уравнение (10-28) можно представить в другом, безразмерном виде, а именно:

    (10-29)

где .

Для круглого стержня , поэтому

Параметром определяется характер изменения температуры по длине стержня. В зависимости от его значения, вернее, от соотношения определяющих его величин, характер изменения температуры получается различным (рис. 10-7).

Количество теплоты, отданное стержнем в окружающую среду, равняется количеству теплоты, прошедшему через его основание. Следовательно,

Рис. 10-7. Изменение температуры по длине стержней из различных материалов.

Рис. 10-8. Теплопередача через стержень конечной длины.

Из уравнения (10-28) имеем:

Подставляя это значение в уравнение (е), окончательно находим:

    (10-30)

б) Стержень конечной длины. Для стержня конечной длины (рис. 10-8) дифференциальное уравнение (10-26) сохраняет силу, но граничные условия изменяются; при и

При количество теплоты , подведенное по стержню к торцу путем теплопроводности, отдается в окружающую среду путем теплоотдачи, т. е.

где — значение коэффициента теплоотдачи на торце стержня.

Из уравнения (10-27) имеем:

и

Подставляя значения (к) и (л) в уравнение (и), получаем:

Решая совместно уравнения определяем неизвестные и

После подстановки значений (н) и (о) в уравнение (10-27) окончательно получим:

    (10-31)

Температура на конце стержня может быть найдена из уравнения (10-31), если положить :

или

где

Первым слагаемым знаменателя в уравнении (10-32) учитывается охлаждение боковой поверхности стержня, вторым — торцевой.

Количество теплоты, переданное через стержень в окружающую среду, равно количеству теплоты, прошедшему через основание стержня, при х = 0. Из уравнения (10-27) имеем:

Подставляя сюда значения из уравнений (н) и (о), получаем:

    (10-33)

Нетрудно убедиться, что уравнения (10-28) и (10-30) являются частным случаем уравнений (10-31) и (10-33).

В тех случаях, когда теплоотдачей с торца стержня можно пренебречь , уравнения (10-31) — (10-33) упрощаются. Согласно условию из уравнений (и) и (л) имеем:

Решая уравнение (р) совместно с уравнением (з), находим:

После подстановки этих значений уравнение температурной кривой (10-27) принимает вид:

    (10-34)

При , следовательно,

    (1035)

Количество переданной теплоты в этом случае согласно уравнению (п) равно:

    (10-36)

Легко убедиться, что уравнения (10-34) — (10-36) непосредственно получаются из уравнений (10-31) — (10-33), если положить в них .

Пример 10-1. От трения в подшипнике выделяется такое количество теплоты, что на конце вала диаметром d = 60 мм устанавливается температура выше температуры окружающего воздуха на 60°С. Как распределяется температура вдоль вала и какое количество теплоты передается через вал, если коэффициент теплоотдачи и коэффициент теплопроводности материала вала и вал рассматривать как стержень бесконечной длины.

Согласно уравнению , где .

Вычислим сначала значение , которое для круглого стержня равно , и найдем .

Следовательно, изменение избыточной температуры по валу определяется следующим уравнением:

Результаты расчетов по этой формуле приводятся ниже:

Количество передаваемой теплоты определяется согласно уравнению (10-30):

Пример 10-2. В компрессорной установке температура воздуха в резервуаре измеряется ртутным термометром, который помещается в железную трубку (гильзу), заполненную маслом (рис. 10-9). Термометр показывает температуру конца гильзы, которая ниже температуры воздуха вследствие отвода теплоты по трубке. Как велика ошибка измерения, если показание термометра температура у основания гильзы длина трубки мм, толщина ее стенки мм, коэффициент теплопроводности и коэффициент теплоотдачи от сжатого воздуха к трубке .

Рис. 10-9. К расчету погрешности показания термометра.

Для решения воспользуемся формулой (10-35). В применении к рассматриваемому случаю эта формула принимает вид:

где — истинная температура сжатого воздуха; — температура на конце гильзы, показываемая термометром и равная — температура гильзы у основания, равная 50 С.

Из уравнения (а) имеем:

Вычислим значение , так как , то

Согласно табл. П-13 .

Подставив эти значения в уравнение (б), получим:

Следовательно, ошибка измерения равна:

Погрешность недопустимо велика. Для снижения ошибки при измерении температуры при помощи термометров, помещаемых в металлические гильзы, согласно уравнению (б) необходимо: а) гильзу делать из материала с возможно меньшим коэффициентом теплопроводности; б) длину ее брать возможно больше, а толщину — меньше; в) интенсифицировать теплообмен между трубкой (гильзой) и средой (например, путем оребрения гильзы с внешней стороны); г) уменьшить падение температуры вдоль трубки (путем наложения тепловой изоляции на прилегающие части резервуара).