1-4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ШАРОВОЙ СТЕНКИ И ТЕЛ НЕПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ

1. Однородная шаровая стенка. Рассмотрим полый шар с внутренним радиусом гг и внешним . Стенка шара состоит из однородного материала, коэффициент теплопроводности которого постоянен. Известны температуры внутренней и внешней поверхностей шара , причем (рис. 1-14). Изотермические поверхности представляют собой концентрические шаровые поверхности.

Выделим внутри стенки шаровой слой радиусом и толщиной , ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье тепловой поток, проходящий через этот слой, равен:

Разделив переменные, получим:

После интегрирования этого уравнения имеем:

Подставляя в уравнение (в) значения переменных величин на границах стенки (при и при ) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу:

где — толщина стенки.

Уравнение температурной кривой внутри однородной шаровой стенки выводится из уравнения (в). Подставляя сюда значение Q и С, получаем:

Уравнение (1-23) представляет собой уравнение гиперболы. С учетом же зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид:

Пример 1-8. Определить тепловой поток через стенку вращающегося шарообразного варочного котла, внутренний диаметр которого , а общая толщина стенки котла и слоя изоляции мм. Температура внутренней поверхности , внешней — , эквивалентный коэффициент теплопроводности .

Согласно условию задачи внешний диаметр котла . Тепловой поток определяется по формуле (1-22):

2. Тела неправильной формы. Каждая из расчетных формул (1-2), (1-10) и (1-22) применима лишь для одного вида геометрически правильного тела — плоского, цилиндрического или шарового.

Расчет теплопроводности всех этих тел можно охватить одной формулой, которая имеет следующий вид:

где — расчетная поверхность тела.

В зависимости от геометрической формы тела определяется различно; если — внутренняя и — внешняя поверхности, то:

а) для плоской, цилиндрической стенки и шаровой стенки при

б) для цилиндрической стенки при

в) для шаровой стенки при

Преимущество формулы (1-25) заключается в том, что по ней можно также приближенно рассчитать теплопроводность ряда тел неправильной геометрической формы, например теплопроводность плоской стенки, у которой т. е. когда поперечное сечение в направлении теплового потока представляет собой переменную величину, теплопроводность любых цилиндрических сечений, ограниченных плавными кривыми, теплопроводность всяких замкнутых тел, у которых все три линейных размера между собой близки.

Рис. 1-14. Однородная шаровая стенка.

В практике часто встречаются случаи, когда объектом расчета является сложное сочетание различных тел, например, бетонное перекрытие с замурованными железными балками, изолированные трубопроводы с открытыми фланцами, барабаны паровых котлов и др. Расчет теплопроводности таких сложных объектов обычно производят раздельно по элементам, мысленно разрезая их плоскостями параллельно и перпендикулярно направлению теплового потока. Однако вследствие различия термических сопротивлений отдельных элементов, а также вследствие различия их формы в местах соединения элементов распределение температур может иметь очень сложный характер, и направление теплового потока может оказаться неожиданным.

Поэтому указанный способ расчета Объектов имеет лишь приближенный характер. Более точно расчеты сложных объектов можно провести лишь в том случае, если известно распределение изотерм и линий тока, которое можно определить опытным путем при помощи методов гидро- или электроаналогии. В ряде случаев достаточно точный расчет можно получить путем последовательного интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности (см. § 2-2 и 7-1) для различных элементов сложной конструкции. Однако для таких расчетов необходимо использовать современную вычислительную технику. Наиболее надежные данные по теплопроводности сложных объектов можно получить только путем непосредственного эксперимента, который проводится или на самом объекте или на его уменьшенной модели.

При выводе расчетных формул принималось, что температуры поверхностей тела постоянны. В практических расчетах это условие не всегда удовлетворяется. В таких случаях поступают следующим образом. Если в отдельных точках поверхности температуры отличаются незначительно, то производят осреднение температур по поверхности, и с этой средней температурой расчет производится, как с постоянной. Осреднение температуры по поверхности осуществляется либо по формуле

где — отдельные участки поверхности с постоянной температурой; — температуры этих участков, либо путем интегрирования:

Если же температура по поверхности изменяется резко, то такой приближенный расчет может приводить к заметным погрешностям. В этом случае необходим более сложный расчет, связанный с интегрированием дифференциального уравнения теплопроводности, либо непосредственный эксперимент.