2-5. ОБОБЩЕНИЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

При постановке любого эксперимента всегда необходимо заранее знать: 1) какие величины надо измерять в опыте; 2) как обрабатывать результаты опыта; 3) какие явления подобны изучаемому. На эти вопросы ответ содержится в изложенных выше трех теоремах подобия.

На первый вопрос отвечает первая теорема: в опытах нужно измерять все величины, содержащиеся в числах подобия изучаемого процесса.

На второй вопрос отвечает вторая теорема: результаты опыта следует обрабатывать в числах подобия и зависимость между ними представлять в виде уравнений подобия; это позволяет найти общую закономерность, справедливую для всех процессов, подобных изучаемому.

На третий вопрос ответ дает третья теорема; подобны те явления, у которых подобны условия однозначности и равны определяющие числа подобия (критерии подобия).

Благодаря этим ответам теория подобия по существу является теорией эксперимента. При проведении эксперимента этапу обработки опытных данных и обобщению их на основе теории подобия должно быть уделено большое внимание.

Например, располагая данными измерений коэффициента теплоотдачи а при вынужденном движении воздуха, по опытным данным можно получить графическую зависимость изменения коэффициента теплоотдачи при изменении скорости движения воздуха

Такая зависимость может быть также описана эмпирической формулой, представляемой обычно в виде степенной функции:

где и — некоторые постоянные числа.

При этом надо всегда помнить, что в результате такой обработки данных можно получить лишь частные формулы, которые справедливы только для условий, имевших место при проведении опыта. Для других условий (объектов, рабочих сред, температур и пр.) такие частные формулы совсем неприменимы.

При изучении любого конкретного процесса обычно всегда ставится задача получить при этом данные и для расчета других процессов, подобных изучаемому. Для того чтобы результат отдельных опытов можно было распространить на все подобные ему процессы, обработка результатов опытов должна производиться в числах подобия.

При обработке результатов опытов в приведенном выше примере в качестве рабочей среды был использован воздух, для которого число имеет постоянное значение: . Поэтому уравнение подобия (2-34) в этом случае принимает вид:

Представляя результаты опытов в виде зависимости между числами Nu и Re, вместо частной формулы (2-79) получаем:

где с — постоянный числовой коэффициент.

Зависимость (2-80) имеет общий характер, она справедлива для всех процессов, подобных данному. Обобщенная формула (2-80) позволяет установить, какое влияние на коэффициент теплоотдачи а оказывают такие величины, как геометрический размер системы , кинематический коэффициент вязкости v среды и т. д., которые в опытах не изменялись. Тем самым отпадает необходимость в проведении дополнительных измерений.

Покажем теперь, как такие функции определяются практически. Пусть имеется степенная зависимость вида (2-80). Логарифмируя это уравненне и обозначая через через через А, получаем:

Последнее соотношение является уравнением прямой, при этом А = у при где — угол наклона прямой к оси абсцисс (рис. 2-9). По графику определяется значение как отношение катетов. Определив значение определяют и значение постоянной из соотношения , которому удовлетворяет любая точка прямой. Проверкой применимости степенной зависимости является тот факт, что в логарифмических координатах все опытные точки укладываются на прямую. Если же точки располагаются по кривой, то эту кривую обычно заменяют ломаной. Для отдельных участков такой кривой значения и различны. Если искомая величина является функцией двух аргументов, на графике получается семейство прямых, второй аргумент берется в качестве параметра.

Так как в процессе теплообмена температура жидкости меняется, то меняются, следовательно, и значения ее физических свойств. Поэтому это обстоятельство должно учитываться при обобщении опытных данных. Один из путей учета состоит в осреднении физических свойств с помощью введения так называемой определяющей температуры, по которой определяются значения физических параметров, входящих в числа подобия. Довольно распространенным является выбор в качестве определяющей средней температуры где — температура поверхности; — температура жидкости. В ряде случаев в качестве определяющей выбирается средняя температура жидкости , температура поверхности нагрева , температура жидкости на входе в теплообменный аппарат и др. Однако следует помнить, что универсальной температуры, выбором которой во всех случаях автоматически учитывалась бы зависимость теплоотдачи от изменения физических свойств с температурой, не существует. Поэтому при обработке опытных данных по теплообмену и гидравлическому сопротивлению за определяющую температуру целесообразно рекомендовать принимать такую, которая в технических расчетах бывает задана или легко может быть определена, а влияние изменения физических свойств теплоносителя учитывать, если это необходимо, путем введения дополнительной поправки (множителя) в обобщенные уравнения подобия.

При записи расчетных формул принятую определяющую температуру следует отмечать в виде индекса. Если, например, в качестве определяющей принята температура стенки, то ставится индекс «с», если температура потока — индекс «ж», если средняя из них — индекс «ср».

При обобщении опытных данных важным Также является вопрос о выборе определяющего размера. Хотя с точки зрения теории подобия в подобных геометрических системах любой размер может быть принят в качестве определяющего, в качестве такого целесообразно выбирать тот размер, которым определяется развитие процесса. При этом обобщенные зависимости для однотипных, но геометрически не подобных систем, оказываются близкими или даже одинаковыми, что представляет большое удобство для практических расчетов. Например, при конвективном теплообмене в круглых трубах в качестве определяющего размера обычно берется диаметр. Для каналов неправильного и сложного сечения целесообразно брать эквивалентный диаметр, равный учетверенной площади поперечного сечения канала, деленной на полный смоченный периметр сечения (независимо от того, какая часть этого периметра участвует в теплообмене). При поперечном обтекании трубы и пучка труб в качестве определяющего размера берется диаметр трубы, а при обтекании плиты — ее длина по направлению движения. Если в качестве определяющего размера принимается длина, то ставится индекс , а если диаметр — индекс d. В этом случае число Re, например, следует писать так:

Рис. 2-9. Графический способ установления степенной зависимости между переменными.

В настоящее время опытные данные по теплообмену, как правило, обрабатываются в числах подобия. Но в справочниках и пособиях еще встречаются иногда формулы и такого вида:

Однако такими простыми формулами можно пользоваться лишь в том случае, если в проектируемом аппарате условия протекания процесса в точности соответствуют тем, какие были при проведении экспериментов, на основании которых получены эти формулы. В этих формулах из многих фактически влияющих факторов учитываются лишь некоторые, например только температурный напор или только скорость w.

Если же условия, имевшие место в опыте и в проектируемом аппарате различны, то при расчетах следует пользоваться такими формулами, в которых учитывалось бы большее число переменных, определяющих собой протекание процесса. Этому требованию удовлетворяют только обобщенные зависимости. Поэтому при выборе расчетной формулы им следует отдавать безусловное предпочтение.

Вначале кажется, что при пользовании обобщенными формулами нужно провести большую вычислительную работу. На самом деле эти затруднения не так велики. Следует лишь помнить, что числа подобия Nu, Re, Gr, Рr и др. являются условными символами. Подставив их значения, всегда можно зависимость искомой величины от других переменных представить в явном виде.

Более того, имея в виду конкретные условия теплообмена, можно провести ряд упрощений и сложную зависимость вида (2-80) привести к простой, типа (2-81). Вновь полученная формула будет отличаться только постоянным коэффициентом, которым учитываются все особенности рассматриваемого случая теплообмена. Таким образом, формулы типа (2-81) могут использоваться лишь применительно к конкретным случаям теплообмена. Пример преобразования и упрощения уравнения подобия приводится ниже.

На основе опытов по изучению теплоотдачи при движении воздуха внутри трубы была установлена следующая обобщенная зависимость:

Рис. 2-10. Установление степенной зависимости между переменными.

После подстановки значений зависимость принимает вид:

откуда

Когда исследуемая зависимость представлена в таком явном виде, легко оценить роль и влияние отдельных величин в процессе теплоотдачи. Влияние каждой величины тем больше, чем выше показатель степени. В этом отношении в уравнении (2-82) на первом месте стоит теплопроводность жидкости , затем скорость кинематический коэффициент вязкости жидкости и, наконец, диаметр трубы d.

Формулу (2-82) можно представить и в таком виде:

где коэффициент зависит лишь от средней температуры воздуха и его значение может быть вычислено заранее.

По внешнему виду формула (2-83) аналогична формуле (2-81), но по содержанию они различны: формулой (2-83) Дополнительно учитывается влияние температуры воздуха и диаметра трубопровода. Приведенный пример показывает, что любое уравнение подобия можно преобразовать и привести к простой зависимости для технических расчетов.

Пример 2-1. С трубкой диаметром d = 12 мм было проведено исследование теплоотдачи в поперечном потоке воздуха. Результаты этих опытов приведены в табл. 2-1. Требуется установить зависимости .

Таблица 2-1

Установим сначала первую зависимость. Прежде всего необходимо убедиться, удовлетворяют ли опытные данные степенной зависимости. Для этого в логарифмических координатах строится график а = f(w) (рис. 2-10). Как видно из графика, все точки хорошо укладываются на прямую. Теперь определим значения постоянных n и с. Показатель степени (а и b измеряются простым масштабом). Значение постоянной определяется из соотношения , которое справедливо для любой точки прямой. Таких определении надо сделать не менее трех и взять их среднеарифметическое значение:

Среднеарифметическое значение с = 22,9 и поэтому окончательно имеем .

Произведя аналогичные операции для второй искомой зависимости , получим . Последнюю формулу можно развернуть и представить, например, в таком виде: