7-3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

1. Метод конечных разностей Шмидта. В случае необходимости решения задач нестационарной теплопроводности в практических расчетах часто применяется метод конечных разностей. Этот метод основан на допущении возможности замены непрерывного процесса скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности (7-1) заменяется уравнением в конечных разностях, которое для одномерного поля имеет вид:

Практика применения этого метода к расчету плоских, цилиндрических и сферических тел, а также к расчету двумерного температурного поля впервые была разработана Э. Шмидтом. Рассмотрим этот метод в применении к плоской стенке. Разделим стенку на слои одинаковой толщины (рис. 7-14), которые будем обозначать номерами Время также разобьем на интервалы , которые будем обозначать номерами . В таком случае , к обозначает температуру в середине слоя в течение всего промежутка времени; температурная кривая представляется ломаной линией.

Из рис. 7-14 следует, что в пределах слоя n температурная кривая имеет два наклона. Следовательно, производная от температуры по координате должна иметь два значения, а именно:

и

Соответственно для второй производной получим:

Производная от температуры по времени для слоя n имеет вид:

Подставляя уравнения (а) и (б) в уравнение (7-6), имеем:

или

Таким образом, зная распределение температур в теле для интервала времени, на основании уравнения (в) можно найти распределение температур для последующего интервала времени и т. д.

Если интервалы времени и размер слоев выбрать так, чтобы , то уравнение (в) принимает вид:

Рис. 7-14. Метод конечных разностей: условные обозначения и графическая интерпретация.

Рис. 7-15. Графический метод решения задач нестационарной теплопроводности.

Из уравнения (г) следует, что является среднеарифметическим значений . Поэтому техника расчета очень проста. Также просто уравнение (г) решается и графически. Значение интервала времени определяется из соотношения

Если, например, рассматривается бетонная стенка и толщина слоя берется равной 50 мм, то интервал времени получает значение

Таким образом, при решении конкретной задачи сначала надо выбрать значение , удобное для графического построения, затем построить начальное распределение температур в виде, например, ломаной линии 0123... (рис. 7-15). Соединяя теперь точку 1 с точкой 3, получают точку 2; соединяя точку 2 с точкой 4, получают точку 3 и т. д.

Для получения точек 0 и 1 необходимо учесть влияние внешней среды. Согласно сказанному выше (§ 7-2) конец температурной кривой (в нашем случае 10) дается соответствующей направляющей точкой R, ордината которой определяется температурой окружающей среды , а абсцисса — подкасательной . Поэтому дополнительно наносится направляющая точка R и параллельно поверхности проводится вспомогательная линия , отстоящая от нее на расстоянии . Если теперь точку 0 соединить с направляющей R, то прямая, соединяющая эти точки, определит на линии точку а. Линия, соединяющая точку а и точку 2, дает точку новой температурной кривой. Последний отрезок 10 температурной кривой должен быть найден также по направляющей точке R.

Выбрав распределение температур за начальное, нужно повторить описанное построение. Таким образом будут найдены кривые и т. д. Если при этом значение а в течение процесса изменяется, то это можно учесть соответствующим изменением положения направляющей точки R.

При расчете многослойной стенки температурная кривая должна строиться в масштабе термических сопротивлений, т. е. по оси абсцисс вместо должно быть отложено . Таким образом, при помощи описанного метода простыми средствами можно решить многие технические задачи нестационарной теплопроводности при любом задании граничных условий. Слабое место этого метода в том, что физические свойства тела принимаются постоянными.

2. Метод элементарных балансов. Поставив перед собой задачу найти метод расчета нестационарной теплопроводности с учетом зависимости от температуры коэффициента теплопроводности и удельной теплоемкости, А. П. Ваничев [10] разработал метод элементарных балансов, сущность которого заключается в следующем.

Рассматриваемое тело разбивается на ряд элементарных геометрических форм, в пределах которых закон изменения температуры с известной степенью точности может быть принят линейным. В качестве элементарного объема целесообразно принять параллелепипед со сторонами . Серией таких параллелепипедов могут быть описаны контуры любого тела. Расчетными точками при этом являются места пересечения плоскостей разбивки, т. е. углы параллелепипедов.

Температуры в расчетных точках снабдим индексами, характеризующими время и место. Температуру расчетной точки в данный момент времени обозначим просто t. Температуры в данный момент времени в соседних точках, находящихся на расстоянии , обозначаются соответственно через . Температура расчетной точки в последующий момент времени, т. е. через промежуток времени , обозначается .

Пусть заданы изменения параметров с и в зависимости от температуры и краевые условия. Требуется определить температуру во всех расчетных точках во все последующие моменты времени. Расчетные формулы получим, применяя законы Фурье и Ньютона—Рихмана к составлению тепловых балансов группы элементарных параллелепипедов, на которые разбито тело. При этом могут встретиться разнообразные варианты расположения расчетных точек. Они могут находиться в пределах однородной среды, лежать на границе двух и более твердых тел, могут быть также расположены на границе с жидкостью или газом. При всякой конкретной задаче имеется ограниченное и обычно не очень большое число вариантов расположения точек.

Для каждого такого варианта, объединяющего одну или несколько точек, необходима своя расчетная формула.

Рис. 7-16. Схема разбивки тела на элементы.

Рассмотрим случай, когда расчетная точка окружена со всех сторон однородной твердой средой.

Процесс распространения теплоты определяется численными значениями трех параметров: коэффициента теплопроводности, удельной теплоемкости и плотности. Плотность изменяется незначительно и во всех дальнейших рассуждениях считается постоянной. Коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость принимаются линейными функциями температуры: . Схема расположения расчетной точки представлена на рис. 7-16.

То обстоятельство, что рассматриваемые параллелепипеды невелики в сравнении с размерами всей системы, позволяет использовать в дальнейших выводах следующие допущения: а) изотермические поверхности в пределах данного элемента представляют собой параллельные плоскости, равноотстоящие одна от другой;

б) средний за время тепловой поток через какую-либо поверхность пропорционален начальному в пределах элемента времени значению температурного градиента; в) увеличение энтальпии пропорционально приращению температуры в средней точке его объема.

Для получения расчетной формулы составим тепловой баланс элемента со сторонами температура в центральной точке которого является расчетной t и . Элемент расположен в центре группы из восьми таких же элементов. Количество теплоты, вошедшее в элемент за время через левую грань, параллельную плоскости YOZ, т. е. грань, лежащую в плоскости, выражаемой уравнением на основании закона Фурье равно:

За то же время через противоположную грань элемента поступает

Количество теплоты, вошедшее в элемент через четыре другие грани, параллельные плоскости XOY и XOZ, определяется аналогично:

В силу линейного характера изменения температуры в пределах расчетных элементов справедливы равенства

С учетом этих равенств выражения для могут быть переписаны в виде

Алгебраическая сумма количества теплоты, вошедшего за время через все грани в элемент, равна увеличению его энтальпии. Это может быть выражено в виде равенства

Подставляя в это равенство вместо ранее найденные для них выражения (е) и решая полученное уравнение относительно интересующего нас значения температуры в следующий момент времени , получаем:

где

Пользуясь найденной формулой, можно по известному начальному распределению температур последовательно найти значения температур во всех расчетных точках в моменты времени и т. д. вплоть до интересующего нас момента.

Найденная формула справедлива лишь в том случае, если среда однородна, т. е. все рассматриваемое тело состоит из одного и того же вещества, а граничные условия заданы в виде температуры поверхности.

В случае, если отдельные участки системы состоят из различных веществ, а также в случае задания граничных условий в виде температуры окружающей среды и закона теплообмена, следует использовать иные зависимости, которые подробно изложены в [10].

Для практического применения метода должен быть рассмотрен еще вопрос о величине промежутка времени , который до сих пор считался произвольным.

Расчетная формула (7-7) может быть представлена в виде

где

Формула (ж) представляет собой полином первой степени с коэффициентами зависящими от физических свойств, координатных отрезков и ; от температуры они зависят лишь в силу изменения физических свойств. Такую структуру расчетные формулы имеют и в более сложных случаях.

На выбор пока никаких ограничений наложено не было. Увеличение его значения может значительно сократить объем вычислительных работ, а потому весьма заманчиво. Однако если придать чрезмерно большое значение, погрешность, вызываемая вторым допущением, т. е. тем, что средний тепловой поток за время считается пропорциональным начальному во времени градиенту температуры, может стать весьма значительной. Иначе говоря, при больших значениях ошибка экстраполяции резко возрастает, что немедленно сказывается на точности вычисления последующих температурных полей.

Для определения максимально допустимой величины обратимся к формуле (ж). При определенной разбивке системы на расчетные элементы и при заданном законе изменения физических свойств значения коэффициентов зависят лишь от и температур. Среди температур, относящихся к данному моменту времени и входящих в состав формулы, имеются наименьшая и наибольшая температуры.

Для того чтобы переход к последующему температурному полю не представлял собой сомнительную экстраполяцию, необходимо, чтобы искомая температура не оказалась ниже первой или выше второй. Иными словами, необходимо, чтобы температурные изменения, происходящие за время , определялись температурными разностями, существующими в рассматриваемом участке, и лежали бы в тех же пределах. В случае произвольного температурного поля это условие соблюдается лишь в том случае, когда все коэффициенты положительны. Коэффициенты по своей структуре могут иметь только положительное значение. Коэффициент же [уравнение (з)] в зависимости от величины может принимать любое значение в пределах от + 1 до . Максимально допустимой величиной , обозначаемой в дальнейшем Дтмакс, является такая, при которой обращается в нуль.

При заданных , А, В, С и D величина зависит не только от , но и от температуры, влияние которой может быть различно, в зависимости от величин и знаков В и D.

Среди температур, встречающихся при задании начальных и граничных условий, имеется наименьшая и наибольшая, обозначим их мин и макс Температура любой точки в любой момент времени не будет выходить из границ этого интервала. Рассмотрим изменение с температурой. Найдем производную

где величина К не зависит от температуры. Мы видим, что изменяется монотонно, ибо ее производная нигде не меняет свой знак. Значит, максимальное значение может соответствовать лишь одному из концов рассматриваемого температурного интервала. Поэтому практически проще всего поступать так: найти величину Дтмакс из условия при и при и из двух найденных значений

ввести в расчет наименьшее, так как при этом условие будет выполнено для всех температур, возможных в системе. Даже при незначительном повышении этой величины изменения температур начинают носить беспорядочный скачкообразный характер и расчет становится неверным. Если система состоит из нескольких веществ или окружена жидкой средой, величина Дтыакс должна быть найдена для всех случаев, встречающихся в системе, и из найденных значений в расчете должно быть принято наименьшее.