2-2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНА

Изучить какое-либо явление — значит установить зависимость между величинами, характеризующими это явление. Для сложных явлений, в которых определяющие величины меняются во времени и в пространстве, установить зависимость между переменными очень трудно. В таких случаях, применяя общие законы физики, ограничиваются установлением связи между переменными (координатами, временем и физическими свойствами), которая охватывает небольшой промежуток времени и элементарный объем пространства. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса. После интегрирования этого уравнения получают аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и рассматриваемого интервала времени.

Такие дифференциальные уравнения могут быть составлены для любого процесса и, в частности, для процесса теплоотдачи.

Так как теплоотдача определяется не только тепловыми, но и гидродинамическими явлениями, то совокупность этих явлении описывается системой дифференциальных уравнений, в которую входят уравнение теплопроводности, уравнение движения и уравнение сплошности.

1. Уравнение теплопроводности. Дифференциальное уравнение теплопроводности выводится на основе закона сохранения энергии.

Выделим в движущемся потоке жидкости элементарный параллелепипед с гранями dx, dy и dz и, считая физические параметры постоянными, напишем для него уравнение теплового баланса. Если изменением давления пренебречь, то согласно первому закону термодинамики количество подведенной теплоты равно изменению энтальпии тела.

Рис 2-3. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности.

Подсчитаем приток теплоты через грани элемента вследствие Теплопроводности. Согласно закону Фурье [уравнение (1-1)] количество теплоты, проходящее за время в направлении оси х через грань ABCD (рис. 2-3), равно:

а через грань EFGH, имеющую температуру , за то же время равно:

Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем:

Аналогично для направлений по осям у и z имеем:

Общее же количество теплоты, оставшееся в элементе объема dx dy dz за время , равно сумме этих трех выражений, а именно:

Вследствие такого притока теплоты температура элемента изменится на величину , а энтальпия — на величину

Левые части выражений (а) и (б) равны, следовательно, равны и правые. Приравнивая их друг другу, получаем:

После сокращения на и перенесения в правую часть уравнение принимает такой вид:

Это и есть дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье—Кирхгофа. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке движущейся среды; здесь а — коэффициент температуропроводности и — оператор Лапласа. Так как

то, подставляя это значение в уравнение (2-5), имеем:

В таком виде уравнение применяется при изучении процесса теплопроводности в движущихся жидкостях. В применении к твердым телам уравнение (2-5а) принимает следующий вид:

2. Уравнение движения. В уравнении (2-5а) наряду с температурой t имеются еще три переменные: . Это говорит о том, что в движущейся жидкости температурное поле зависит еще и от распределения скоростей. Последнее описывается дифференциальным уравнением движения, вывод которого основан на втором законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

Рис. 2-4. К выводу дифференциального уравнения движения жидкости.

Рис. 2-5. Сила трения, действующая на элемент движущейся жидкости.

Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy и dz. На выделенный элемент действуют три силы: сила тяжести, равнодействующая сил давления и равнодействующая сил трения. Найдем проекции этих сил на ось х (направление осей см. на рис. 2-4).

а) Сила тяжести приложена в центре тяжести элемента объемом . Ее проекция на ось х равна произведению проекции ускорения свободного падения на массу элемента , а именно:

б) Равнодействующая сил давления определяется на основе следующих соображений. Если на верхней грани элемента давление жидкости равно р, то на площадку dy dz действует сила . На нижней грани давление жидкости равно , и на эту грань действует сила .

Здесь знак минус указывает на то, что эта сила действует против направления оси х. Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:

в) При движении реальной жидкости всегда возникает сила трения. Выражение для этой силы проще всего может быть установлено из рассмотрения плоского ламинарного потока, в котором скорость изменяется лишь в направлении оси у. В этом случае сила трения возникает только на боковых гранях элемента (рис. 2-5). Около левой грани скорость движения частиц меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у сила трения направлена против движения и равна — . Около правой грани элемента, наоборот, скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у + dy сила трения направлена в сторону движения и равна .

Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:

где s — касательная сила трения на единицу поверхности; согласно закону Ньютона .

Подставляя это значение в предыдущее уравнение и принимая , окончательно получаем:

Однако такое сравнительно простое выражение получается лишь для одномерного движения. В общем же случае, когда изменяется по всем трем направлениям, проекция равнодействующих сил трения на ось х определяется следующим выражением:

Суммируя теперь выражения (в), (г) и (д), получаем проекцию на ось х равнодействующей всех сил, приложенных к объему dv:

Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента на его ускорение :

Приравнивая друг другу уравнения (е) и (ж) и производя сокращение на , окончательно имеем:

Все члены этого уравнения имеют размерность силы, отнесенной к единице объема (Н/м3).

Таким же образом могут быть получены уравнения и для проекций равнодействующих сил на оси , а именно:

Уравнение (2-7) и есть дифференциальное уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости — уравнение Навье—Стокса. Это уравнение справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения.

3. Уравнение сплошности. Так как в уравнении движения появилась новая неизвестная — давление р, то число неизвестных в уравнениях (2-5) и (2-7) больше числа уравнений, т. е. система оказалась незамкнутой. Чтобы получить замкнутую систему, необходимо к имеющимся уравнениям присоединить еще одно — уравнение сплошности, которое выводится на основе закона сохранения массы.

Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy и dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него за время (рис. 2-6).

В направлении оси х через грань ABCD втекает масса жидкости

Через противоположную грань EFGH вытекает масса :

Вычитая второе равенство из первого, получаем излишек массы жидкости, вытекающей из объема в направлении оси х, а именно:

Аналогичным образом для направлений по осям у и z имеем:

Полный избыток массы вытекающей жидкости равен сумме этих выражений:

Рис. 2-6. К выводу дифференциального уравнения сплошности.

Этот избыток обусловливается уменьшением плотности жидкости в объеме и равен изменению массы данного объема во времени. Следовательно,

Произведя сокращение и перенеся все члены в левую часть этого равенства, окончательно получим:

Это и есть дифференциальное уравнение сплошности или непрерывности в самом общем виде. Для несжимаемых жидкостей плотность постоянна. В этом случае уравнение (2-8) принимает более простой вид:

4. Краевые условия. Система дифференциальных уравнений для процессов конвективного теплообмена охватывает бесчисленное множество процессов теплоотдачи, которые описываются этими уравнениями, но вместе с тем каждый из них отличается от других некоторыми частностями.

Чтобы ограничить задачу, из бесчисленного множества выделить рассматриваемый процесс и определить его однозначно, т. е. дать полное математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей, которые называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности состоят из:

геометрических условий, характеризующих форму и размеры системы, в которой протекает процесс;

физических условий, характеризующих физические свойства среды и тела;

граничных условий, характеризующих особенности протекания процесса на границах тела;

временных условий, характеризующих особенности протекания процесса во времени.

Когда условия однозначности для какого-либо конкретного случая заданы, то они вместе с системой дифференциальных уравнений составляют математическое описание данного процесса. Тем самым после решения системы уравнений можно получить полное описание процесса во всех деталях: поля температур, скоростей, давлений и т. д.

Для технических расчетов обычно основной интерес представляет коэффициент теплоотдачи, который определяется по уравнению (2-1). При известном поле температур определение коэффициента теплоотдачи основывается на следующих положениях.

Поток теплоты, передаваемый от жидкости к стенке, проходит через слой жидкости, прилегающей к поверхности, путем теплопроводности и может быть определен по закону Фурье:

С другой стороны для этого же элемента поверхности закон Ньютона—Рихмана записывается в виде

Приравнивая правые части этих уравнений, получаем:

Это уравнение, позволяющее по известному полю температур в жидкости определить коэффициент теплоотдачи, называется уравнением теплоотдачи.

Условия однозначности могут быть заданы в виде числовых значений, в виде функциональных зависимостей или в табличной форме. Пусть, например, рассматривается случай теплоотдачи при движении жидкости в трубе.

В этом случае могут быть заданы такие условия однозначности:

1. Труба гладкая, круглая; внутренний диаметр трубы d и длина .

2. Рабочим телом, т. е. теплоносителем, является вода, которая несжимаема, ее физические свойства равны: . Если же зависимостью физических свойств от температуры можно пренебречь, тогда они задаются просто в виде числовых значений и .

3. Температура жидкости на входе равна , а на поверхности трубы . Скорость на входе равна w, а у самой стенки w = 0. Если же температура и скорость на входе не постоянны, то должен быть задан закон их распределения по сечению.

4. Для стационарных процессов временные условия однозначности отпадают.

Итак, математическое описание процесса теплоотдачи состоит из: 1) уравнения теплопроводности; 2) уравнения движения; 3) уравнения сплошности; 4) уравнения теплоотдачи и 5) условий однозначности.

К настоящему времени аналитические решения системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена получены лишь для ограниченного числа простейших задач при введении тех или иных упрощающих допущений. Такое положение объясняется большой сложностью уравнений или в конечном счете сложностью и многогранностью содержания самих процессов.

Вследствие ограниченности возможностей аналитического решения приведенных выше дифференциальных уравнений большое значение в изучении процессов теплоотдачи приобретает эксперимент. Экспериментальное изучение сложных процессов, зависящих от большого числа отдельных факторов, само по себе является трудным делом. Кроме того, при постановке эксперимента, помимо подробного изучения рассматриваемого процесса, обычно всегда ставится также задача получить данные для расчета других про цессов, родственных изучаемому. Одним из средств решения такой задачи является теория подобия, которая по своему существу является теорией эксперимента [19, 36].