7-2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Дифференциальное уравнение теплопроводности для твердых тел имеет вид:

Для аналитического решения этого уравнения необходимо задание следующих краевых условий: 1) начальное распределение температуры в теле; 2) действие на поверхность окружающей среды. Последнее условие может быть задано тремя способами.

а) По первому способу задается температура поверхности графически это условие выражается заданием точки А (рис. 7-2, а). Количество теплоты , проходящее через элемент поверхности , при этом неизвестно; графически это выражается тем, что неизвестен наклон температурной кривой в теле около поверхности, т. е. угол , ибо согласно закону Фурье для любого момента времени количество теплоты, притекающее изнутри тела к поверхности, равно:

б) По второму способу, наоборот, задается количество теплоты, проходящей через поверхность (т. е. в конечном счете угол ), но неизвестна ее температура (рис. 7-2, б), т. е. положение точки А.

в) Наконец, по третьему способу задаются температура окружающей среды и коэффициент теплоотдачи между средой и поверхностью . Так как для количества теплоты , притекающей изнутри и отдающейся от поверхности в окружающую среду, помимо выражения (а), может быть написано еще выражение, основанное на уравнении Ньютона—Рихмана [см. уравнение (2-1)],

то из сопоставления уравнений (а) и (б) имеем:

Уравнение (7-2) является математической формулировкой граничного условия третьего рода. Из рис. 7-2, в имеем:

Следовательно, граничным условием третьего рода определяется точка О, через которую должны проходить все касательные к температурной кривой в точке, лежащей на поверхности тела. Точка О называется направляющей и лежит на расстоянии от поверхности. Таким образом, s является подкасательной к температурной кривой; от формы поверхности она не зависит.

Рис. 7-2. Графическая интерпретация трех способов задания граничных условий.

В результате решения уравнения (7-1) должна быть найдена такая функция, которая одновременно удовлетворяла бы этому уравнению и краевым условиям. Решение уравнения производится при помощи рядов Фурье. Для различных краевых условий результаты получаются различными, но методология решения в основном одинакова. Для технических целей в большинстве случаев можно ограничиться рассмотрением течения процесса лишь в одном каком-либо направлении х. В этом случае общее решение имеет вид:

для плоской стенки

для цилиндрической стенки

где — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка.

Постоянные b и с определяются из условий стационарности режима (при ); — из граничных и — из начальных (при условий.

Подробное изложение решений здесь не приводится; довольно полно математические описания решений имеются в [18 и 59]. Здесь же в качестве примеров мы ограничимся рассмотрением лишь конечных результатов решения для плиты, цилиндра и шара в случае внезапного изменения температуры среды. Из уравнений (7-3) и (7-4) следует, что искомая функция зависит от большого числа параметров. Однако при более глубоком анализе решений оказывается, что эти величины можно сгруппировать в две безразмерные величины: Эти величины являются числами подобия, они получаются из уравнений (7-1) и (7-2):

На основании второй теоремы теории подобия (см. § 2-3) искомая функция в виде безразмерной температуры различных сходственных точках может быть представлена в виде зависимости

1. Плоская стенка. Пусть толщина неограниченной плоской стенки составляет . Если за начало отсчета температуры принять температуру окружающей среды иизбыточную температуру стенки обозначить , то уравнение (7-1) принимает вид:

Граничные условия: при

Начальное условие: при

При решении технических задач в большинстве случаев достаточно знать температуру на поверхности и в средней плоскости стенки . В этом случае уравнение (7-5) упрощается, ибо аргумент L становится постоянным числом (при ) и при . Следовательно,

и

Кроме распределения температур, часто требуется знать количество теплоты , переданное за время .

Отношение к теплоте , которая может быть отдана (или воспринята) телом за время полного охлаждения (нагревания), также является функцией только двух чисел подобия :

Зависимости (е) — (з) приведены на рис. 7-3 — 7-5 в виде графиков. При определении искомых величин необходимо сначала вычислить значения чисел подобия по которым из графиков определяются . Так как и известны, то легко вычисляются и значения и . Величина , где F — площадь боковой поверхности пластины.

По этим данным приближенно можно построить всю кривую распределения температуры в теле, пользуясь тем, что направление касательных к этой кривой известно в трех точках (рис. 7-6). В самом деле, из точек касательные проходят через направляющие точки О и расположенные на расстоянии от стенки. В точке же касательная горизонтальна в силу симметрии температурной кривой . Таким образом, можно построить кривую распределения температуры в теле для любого момента времени .

Абсолютные значения температур тела на поверхности и в плоскости симметрии для любого момента времени определяются из следующих соотношений:

где — температура окружающей среды; — начальная температура тела; — температура поверхности; — температура в средней плоскости тела.

(кликните для просмотра скана)

Приведенные данные применимы для охлаждения и нагревания, а также для двустороннего и одностороннего процессов. В последнем случае будет означать полную толщину стенки.

2. Цилиндр. Для бесконечно длинного цилиндра (стержня) с радиусом R дифференциальное уравнение теплопроводности имеет следующий вид:

граничное условие: при

начальное условие: при

Рис. 7-6. Изменение температурного поля при охлаждении плоской неограниченной стенки.

Решение относительно и также является функцией только двух чисел подобия:

Эти зависимости в виде графиков представлены на рис.

Величина для участка цилиндра длиной равна:

3. Шар. Для шара радиусом R дифференциальное уравнение имеет вид:

Граничное условие: при

Начальное условие: при

В данном случае решение относительно также является функцией только двух чисел подобия: . Эти зависимости в виде графиков представлены на рис. . Величина Q для шара равна:

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

4. Зависимость процесса распространения теплоты от формы и размеров тела. Скорость протекания процесса для какого-либо тела тем больше, чем больше отношение его поверхности к объему. В этом легко убедиться, если для тел различной формы сравнить значение при одинаковых значениях . Такое сопоставление приведено на рис. 7-13, где для различных тел даны зависимости при . Из рисунка видно, что для шарообразных тел скорость процесса больше, чем для любых других. Для цилиндрических и призматических тел скорость процесса в сильной мере зависит от их длины. Чем меньше длина, тем выше скорость.

Рис. 7-13. Зависимость для тел различной формы при . 1 — пластина; 2 — квадратная балка бесконечной длины; 3 — цилиндр бесконечной длины; 4 — куб; 5 — цилиндр, длина равна диаметру; 6 — шар.

Короткие цилиндры, прямоугольные призмы и параллелепипеды можно рассматривать соответственно как тела, образованные пересечением взаимно перпендикулярных цилиндра и пластины, двух пластин и трех пластин неограниченных размеров, но конечной толщины. Для цилиндра конечной длины толщина пластины берется равной длине цилиндра . Относительная температура для какой-либо точки цилиндра равна произведению относительных температур этой точки, полученных для бесконечно длинного цилиндра и пластины бесконечной протяженности.

Этот метод перемножения относительных температур применим также для прямоугольных призм и параллелепипедов. Например, относительная температура на поверхности середины длины цилиндра равна произведению относительной температуры поверхности бесконечно длинного цилиндра на относительную температуру в середине неограниченной пластины ; точно так же относительная температура на оси в середине цилиндра равна произведению относительной температуры оси бесконечного цилиндра на относительную температуру оси неограниченной пластины.

Пример 7-1. Определить температуру в центре и на поверхности стального цилиндра диаметром и длиной через час после посадки его в печь.

Начальная температура цилиндра , температура внутри печи

Сначала проведем расчет, предполагая цилиндр бесконечно длинным. Определяя коэффициент температуропроводности металла, имеем:

Значения чисел подобия:

По этим данным по рис. 7-7 и 7-8 находим значения

Теперь учтем влияние длины цилиндра по описанному выше правилу. Толщина плиты . Так как физические свойства плиты те же, что и для цилиндра, то

и

По этим данным по рис. 7-3 и 7-4 находим значения

Путем перемножения соответствующих значений безразмерных температур находим их значения для периметра торца середины торца , середины боковой поверхности и середины оси :

Так как то следовательно:

Таким образом, в случае конечной длины цилиндра процесс его нагревания протекает значительно быстрее.