1-3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ

1. Однородная стенка. Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной , с внутренним радиусом и внешним . Коэффициент теплопроводности материала X постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах причем (рис. 1-11) и температура изменяется только в радиальном направлении . Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом и толщиной у ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

Разделив переменные, имеем:

После интегрирования уравнения (б) находим:

Подставляя значения переменных на границах стенки (при и при ) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу:

Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу времени через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности , длине и температурному напору и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы к внутреннему . Формула (1-10) справедлива и для случая, когда , т. е. когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней.

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины l, либо к единице внутренней или внешней поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид:

Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны, то различными получаются и значения плотностей тепловых потоков . Взаимная связь между ними определяется соотношением

Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (в). Подставляя сюда значения Q и С, имеем:

Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффициента теплопроводности X температура изменяется по логарифмической кривой (рис. 1-11).

С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид:

2. Многослойная стенка. Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех разнородных слоев. Диаметры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоев известны, их обозначения см. на рис. 1-12. Кроме того, известны температуры внутренней и внешней поверхностей многослойной стенки . В местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим их через и .

При стационарном тепловом режиме через все слои проходит одно и то же количество теплоты. Поэтому на основании уравнения (1-11) можно написать:

Рис. 1-11. Однородная цилиндрическая стенка.

Рис. 1-12. (Многослойная цилиндрическая стенка.

Из этих уравнений определяется температурный напор в каждом слое:

Сумма этих температурных напоров составляет полный температурный напор. Складывая отдельно левые и правые части системы уравнений (д), имеем:

из этого уравнения определяем значение линейной плотности теплового потока :

По аналогии с этим сразу можно написать расчетную формулу для -слойной стенки

Значения неизвестных температур поверхностей соприкосновения слоев определяются из системы уравнений (д):

Согласно уравнению (1-14), внутри каждого слоя температура изменяется по логарифмическому закону, а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломаную кривую (рис. 1-12).

3. Упрощение расчетных формул. Логарифмическую расчетную формулу для трубы (1-11) можно представить в следующем, более простом виде:

или

Здесь — средний диаметр и — толщина стенки трубы. Влияние кривизны стенки при этом учитывается коэффициентом кривизны . Его значение определяется отношением диаметров в самом деле, из сопоставления уравнений (1-11). и (1-19) имеем:

Для различных отношений значения приведены на рис. 1-13. При значение близко к единице.

Поэтому если толщина стенки трубы по сравнению с диаметром мала или, что то же, если отношение близко к единице, влиянием кривизны стенки можно пренебречь.

Рис. 1-13. Зависимость коэффициента кривизны .

Для расчета теплопроводности многослойной стенки трубы такая упрощенная формула имеет следующий вид:

где — толщина слоя стенки; — средний диаметр; — коэффициент теплопроводности; — коэффициент кривизны отдельных слоев.

Пример 1-6. Паропровод диаметром 160/170 мм покрыт двуслойной изоляцией. Толщина первого слоя мм и второго мм. Коэффициенты теплопроводности трубы и изоляции соответственно равны: . Температура внутренней поверхности паропровода и внешней поверхности изоляции . Определить линейную плотность теплового потока и температуры на поверхностях раздела отдельных слоев.

Согласно условию задачи имеем:

Применяя уравнение (1-16), получаем:

Далее согласно уравнению (1-18) имеем:

или

Пример 1-7. Предыдущий пример решить по упрощенной формуле. Так как для всех трех слоев , то можно принять, что .

Тогда согласно условию имеем:

Подставляя эти значения в уравнение (1-21), получаем:

Таким образом, пренебрежение влиянием кривизны стенки в этом случае вносит ошибку меньше 1,0%.