1-2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ

1. Однородная стенка. Рассмотрим однородную стенку толщиной (рис. 1-7), коэффициент теплопроводности , которой постоянен. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры . Температура изменяется только в направлении оси х. В этом случае температурное поле одномерно, изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х.

На расстоянии х выделим внутри стенки слой толщиной ограниченный двумя изотермическими поверхностями. На основании закона Фурье [уравнение (1-1)] для этого случая можно написать:

Плотность теплового потока q при стационарном тепловом режиме постоянна в каждом сечении, поэтому

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий, а именно при а при . Подставляя эти значения в уравнение (б), имеем:

Из уравнения (в) определяется неизвестное значение плотности теплового потока q, а именно:

Следовательно, количество теплоты, переданное через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности и разности температур наружных поверхностей и обратно пропорционально толщине стенки .

Уравнение (1-2) является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки. Оно связывает между собой четыре величины: и . Зная из них любые три, можно найти четвертую:

Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина — термическим сопротивлением. Последнее определяет падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока.

Если в уравнение (б) подставить найденные значения С и плотности теплового потока q, то получим уравнение температурной кривой

Последнее показывает, что при постоянном значении коэффициента теплопроводности температура однородной стенки изменяется по линейному закону. В действительности же вследствие своей зависимости от температуры коэффициент теплопроводности является переменной величиной. Если это обстоятельство учесть, то получим иные, более сложные расчетные формулы.

Для подавляющего большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры имеет линейный характер вида . В этом случае на основании закона Фурье для плоской стенки имеем:

Разделив переменные и произведя интегрирование, получим:

Подставляя в уравнение (е) граничные значения переменных, имеем при

при

Вычитая из уравнения (з) уравнение (ж), получаем:

откуда

Рис. 1-7. Однородная плоская стенка.

Новая расчетная формула (1-4) несколько сложнее формулы (1-2). Там мы принимали коэффициент теплопроводности постоянным и равным некоторому среднему значению .

Приравнивая друг другу правые части этих формул, имеем:

Следовательно, если определяется по среднеарифметическому из граничных значений температур стенок, то формулы (1-2) и (1-4) равнозначны.

С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой в стенке получается путем решения уравнения (е) относительно t и подстановки значения С из (ж), а именно:

Следовательно, в этом случае температура стенки изменяется не линейно, а по кривой. При этом если коэффициент b положителен, выпуклость кривой направлена вверх, а если отрицателен — вниз (см. рис. 1-10).

2. Многослойная стенка.

Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоев, называются многослойными.

Именно такими являются, например, стены жилых домов, в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой — внешняя облицовка. Обмуровка печей, котлов и других тепловых устройств также обычно состоит из нескольких слоев.

Рис. 1-8. Многослойная плоская стенка.

Пусть стенка состоит из трех разнородных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис. 1-8). Толщина первого слоя второго и третьего . Соответственно коэффициенты теплопроводности слоев . Кроме того, известны температуры наружных поверхностей стенки . Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контакта мы обозначим через .

При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна и для всех слоев одинакова. Поэтому на основании уравнения (1-2) можно написать:

Из этих уравнений легко определить температурные напоры каждом слое:

Сумма температурных напоров в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая левые и правые части системы уравнений (м), получаем:

Из соотношения (н) определяем значение плотности теплового потока:

По аналогии с изложенным можно сразу написать расчетную формулу для -слойной стенки:

Так как каждое слагаемое знаменателя в формуле (1-6) представляет собой термическое сопротивление слоя, то из уравнения (1-7) следует, что общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных термических сопротивлений.

Рис. 1-9. Графический способ определения промежуточных температур .

Если значение плотности теплового потока из уравнения (1-6) подставить в уравнение (м), то получим значения неизвестных температур :

Внутри каждого слоя температура изменяется по прямой, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию (рис. 1-8). Значения неизвестных температур многослойной стенки можно определить также графически (рис. 1-9). При построении графика по оси абсцисс в любом масштабе, но в порядке расположения слоев, откладываются значения их термических сопротивлений , восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произвольном, но одинаковом масштабе, откладываются значения наружных температур .

Полученные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со средними перпендикулярами дают значения искомых температур . При таком построении . Следовательно,

Подставляя значения отрезков, получаем:

Аналогичным образом доказываем, что

Иногда ради сокращения выкладок многослойную стенку рассчитывают как однослойную (однородную) толщиной . При этом в расчет вводится так называемый эквивалентный коэффициент теплопроводности , который определяется из соотношения

Отсюда имеем:

Таким образом, эквивалентный коэффициент теплопроводности зависит только от значений термических сопротивлений и толщины отдельных слоев.

При выводе расчетной формулы для многослойной стенки мы предполагали, что слои плотно прилегают друг к другу и благодаря идеальному тепловому контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют одну и ту же температуру. Однако если поверхности шероховаты, тесное соприкосновение невозможно и между слоями образуются воздушные зазоры. Так как теплопроводность воздуха мала , то наличие даже очень тонких зазоров может сильно повлиять в сторону уменьшения эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. Аналогичное влияние оказывает и слой окисла металла. Поэтому при расчете и в особенности при измерении теплопроводности многослойной стенки следует обращать внимание на плотность контакта между слоями.

Пример 1-1. Определить потерю теплоты через кирпичную стенку длиной 5 м, высотой 3 м и толщиной 250 мм, если на поверхностях стенки поддерживаются температуры . Коэффициент теплопроводности кирпича А = 0,6 Вт/(м•°С).

Согласно уравнению (1-2)

Пример 1-2. Определить значение коэффициента теплопроводности материала стенки, если при толщине мм и температурном напоре плотность теплового потока .

Согласно уравнению (1-2)

Пример 1-3. Определить плотность теплового потока через плоскую шамотную стенку толщиной и найти действительное распределение температуры, если на наружных поверхностях температуры соответственно и коэффициент теплопроводности шамота .

Рис. 1-10. Распределение температур в стенке при переменном и постоянном коэффициентах теплопроводности.

Сначала вычислим среднюю температуру стенки :

По этой средней температуре определим среднее значение коэффициента теплопроводности :

Подставляя полученное значение в уравнение (1-2), получаем:

Точно такой же результат получим и при расчете по формуле (1-4). Действительное распределение температуры в стенке определяется по формуле (1-5). Результаты расчетов приведены в табл. 1-1 и на рис. 1-10. гам же для сравнения приведены результаты расчета по формуле (1-3), когда коэффициент теплопроводности не зависит от температуры.

Таблица 1-1. Распределение температуры в стенке,

Пример 1-4. Определить плотность теплового потока, проходящего через стенку котла, если толщина ее мм, коэффициент теплопроводности материала и с внутренней стороны стенка покрыта слоем котельной накипи толщиной мм с коэффициентом теплопроводности Температура наружной поверхности а внутренней .

Согласно уравнению (1-6)

Температура внутренней поверхности железного листа (под накипью) определяется по формуле (1-8):

Пример 1-5. Определить значение эквивалентного коэффициента теплопроводности пакета листового трансформаторного железа из листов, если толщина каждого листа мм и между ними проложена бумага толщиной мм. Коэффициент теплопроводности железа и бумаги .

Согласно формуле (1-9) имеем: