ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 6.1. Понятие функции комплексного переменного
Понятие комплексного числа было
рассмотрено в нашей книге «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление», глава 5. Там же были рассмотрены многочлены 
от комплексного
переменного. Многочлен является простейшим примером функции комплексного
переменного.
Комплексные числа мы условились
изображать точками плоскости, где задана прямоугольная система координат.
Дадим понятие функции от
комплексного переменного.
Пусть даны две плоскости
комплексных чисел 
и 
(рис. 129). Рассмотрим некоторое
множество
Рис. 129
точек
в
плоскости 
и
множество 
в
плоскости 
.
Если каждому числу 
по некоторому закону поставлено в
соответствие определенное комплексное число 
, то говорят, что на множестве задана
однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество в множество
.
Символически это обозначают так:
Множество называют областью
определения функции 
. Если каждая точка множества является значением
функции, то говорят, что - область значений этой функции или образ
множества при
помощи функции 
.
В этом случае говорят еще, что функция 
отображает на .
Функцию можно записать в виде
,
где
,
,
-
действительные функции от переменных 
.
Если каждому соответствует несколько
разных значений ,
то функция называется
многозначной.
Понятия предела и непрерывности
функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для
функции действительного переменного, необходимо лишь всюду вместо абсолютной
величины писать модуль комплексного числа.
Говорят, что функция
имеет
предел в точке 
,
равный числу 
,
если
. (1)
В этом случае пишут
.
На языке функций 
и 
свойство (1)
записывается в виде равенства
(2)
или,
что все равно, в виде двух равенств
, 
. (3)
Для комплексных функций и 
имеют место
свойства, аналогичные соответствующим свойствам действительных функций:
(4)
Как обычно, формулы (4) надо
понимать в том смысле, что если пределы, стоящие в их правых частях, существуют,
то существуют также пределы, стоящие в их левых частях, и выполняется
соответствующее равенство.
Функция называется непрерывной
в точке ,
если для нее выполняется свойство
,
, 
. (5)
Таким образом, непрерывная в
точке функция
должна быть определена в окрестности этой точки, в том числе и в ней самой и
должно выполняться равенство (5). Равенство (5) эквивалентно двум равенствам:
,
.
Следовательно, непрерывность в точке эквивалентна
непрерывности функций и в точке 
.
Из свойств (4) следует, что
сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке комплексных функций
и есть непрерывная
функция в этой точке. В случае частного надо в этой формулировке считать, что 
.
Пример 1. Функция 
задана на всей
комплексной плоскости. Ее значения – неотрицательные числа. Эта функция
непрерывна во всех точках комплексной плоскости:
.
Пример 2.
. (6)
Эта функция многозначная
(бесконечнозначная); 
- главное значение аргумента 
.
Пример 3. Функция 
. Она непрерывна:
.
Рис. 130
Но тогда и функция 
непрерывна как произведение
конечного числа непрерывных функций.
Множество комплексных чисел будем называть областью,
если ,
как множество точек плоскости, открыто и связно.
Область называется односвязной,
если любая непрерывная замкнутая самонепересекающаяся кривая, проведенная в , ограничивает
некоторую область , целиком принадлежащую . Область, не
обладающую этим свойством, будем называть многосвязной.
Пример 4. Кольцо 
- многосвязная
(двусвязная) область. Кривая 
(рис. 130) принадлежит кольцу, но
ограничивает область, не входящую целиком в него.
