§ 6.4. Гармонические функции
Пусть на области 
плоскости 
задана
аналитическая функция 
. Тогда, как это уже было отмечено в §
6.2, функция 
имеет
на непрерывные
производные любого порядка. Но тогда функции 
и 
имеют на непрерывные частные
производные любого порядка, а первые производные удовлетворяют условиям Коши -
Римана
,
, (1)
из
которых следует
,
.
Складывая эти равенства, получаем
. (2)
Левую часть уравнения (2)
обозначают символом
.
Уравнение
(3)
называют
уравнением Лапласа. Символ 
называют оператором Лапласа.
Функцию , имеющую непрерывные
частные производные второго порядка на и удовлетворяющую уравнению Лапласа
(3), называют гармонической на .
Итак, мы установили, что действительная
часть аналитической на функции является гармонической функцией
на .
Если первое равенство в (1)
продифференцировать по 
, а второе - по 
и вычесть второе равенство
из первого, то будем иметь
,
т. е. и мнимая часть
аналитической функции является гармонической функцией.
Однако функция 
, где и - произвольные
гармонические на функции,
не всегда является аналитической на . Она будет аналитической, только если
функции и
удовлетворяют
на условиям
Коши - Римана.
Покажем, что если есть односвязная
область, то для всякой гармонической на функции 
существует единственная, с точностью
до произвольной постоянной, сопряженная к на функция такая, что
аналитическая
на .
Пусть задана на гармоническая
функция .
Положим
,
.
Так как имеет на непрерывные
частные производные второго порядка, удовлетворяющие уравнению Лапласа, то
.
Из полученного равенства
на
и
односвязности следует
(см. § 3.4), что криволинейный интеграл
(4)
вдоль
любого кусочно-гладкого пути 
, соединяющего точки 
и 
, зависит от этих
точек, но не зависит от формы пути. При этом есть функция, потенциальная для
вектора 
на
, т. е.
,
.
Это показывает, что имеет непрерывные
частные производные на , удовлетворяющие вместе с условиям Коши -
Римана. Но тогда и
-
сопряженные друг к другу функции.
Если 
- другая функция,
сопряженная к на
, то
,
. (6)
Из (5) и (6) следует:
,
на .
Но тогда 
на , где 
- постоянная. Утверждение
доказано.
Пример 1. Функция 
удовлетворяет, очевидно,
уравнению .
Найти аналитическую функцию , у которой 
.
Мнимую часть этой функции ищем по
формуле (4) (рис. 134):
.
Рис. 134
Тогда функция 
аналитическая во
всей комплексной плоскости.
Пример 2. Функция 
аналитическая на
плоскости .
Следовательно, функции 
, 
гармонические и удовлетворяют условиям
Коши - Римана на плоскости . Это можно проверить непосредственно.
Пример 3. Функции , 
гармонические, но
условия Коши - Римана для них не выполнены, поэтому функция 
не является
аналитической. Убедимся в этом непосредственно: 
, 
, 
.
Выбираем два пути подхода точки 
к точке , а именно, a) 
, 
; б) 
, 
. Тогда:
в случае а) 
, т. е. 
;
в случае б) 
, т. е. 
.
Таким образом, предела 
при 
не существует и
функция 
не
имеет производной в любой точке плоскости.
Замечание. В полярных координатах
, 
гармоническая
функция перейдет
в некоторую новую функцию относительно координат 
и 
.
Легко видеть, что
,
,
,
.
Отсюда
.
В связи с этим равенством пишут
и
правую часть этого символического равенства называют оператором Лапласа в
полярных координатах. Мы доказали, что
.
