2.5. Общий подход к решению задачи

Подход человека к решению задачи включает семь основных этапов:

1. Выяснение смысла условий задачи.

2. Первые выводы из условий задачи.

3. Проигрывание ситуации.

4. Обдумывание.

5. Выбор наилучшего представления — поиск замкнутой формулировки задачи.

6. Частичное (возврат к этапу 2) или общее решение задачи.

7. Проверка и обобщение решения.

Этап 1 существенно зависит от наших органов восприятия (слуха и зрения). Более того, поскольку человек обычно обладает ограниченными способностями к немедленному запоминанию, необходимо длительное осмысление условий задачи. На этапе 2 используются накопленные человеком знания, чтобы, во-первых, восполнить недостающую в условиях задачи информацию, и во-вторых, заменить длинные словесные фразы, содержащиеся в условиях задачи, на более подходящие и удобные для преобразований представления (такие, например, как рисунки, графы, алгебраические выражения).

Отметим, что уже начиная с 1962 г. простые программы, основанные на использовании ключевых слов, были способны

решать несложные задачи из области физической кинетики (Bobrow, 1962) и теории вероятностей (Gelb, 1964).

Этап 3 является по крайней мере для человека основополагающим. Речь идет прежде всего о том, чтобы, возвращаясь к этапам 1 и 2. удостовериться, что ничто не пропущено и нет существенной ошибки в интерпретации условий задачи. Во вторую очередь речь идет о том, чтобы определить, в чем же состоит сложность задачи.

Этап 4 также является основным. На этом этапе необходимо очистить нашу память от “фактов-паразитов”, связанных с первоначальной формулировкой задачи, и иайти лучшие операторы для новой замкнутой формулировки задачи. Отметим, что на этом этапе нередко практикуется, следующий прием: на время отвлекаются от задачи и занимаются чем-нибудь другим. Мы по своей природе настолько программируемы, что забывание является часто единственным способом автоматически прогнать из памяти старые идеи и создать условия для возникновения новых. “Отвлечение” от задачи является прекрасным методом ее решения.

На этапе 5 достигается формулировка задачи в замкнутой форме, т. е. ей придается полный, однозначный и безизбыточный вид. Трудность решения задачи на этом этапе можно оценить более точно, исходя из размера пространства поиска X, сложности. ограничений и числа разрешенных операций. На этапе 6 почти всегда удается получить наилучшее представление благодаря малому пространству поиска. После того как новая замкнутая формулировка задачи получена, цикл решения можно повторить снова, начиная с этапа 2.

На этапе 7 процесс решения задачи заканчивается. Затем полезно вернуться к первому этапу, чтобы обсудить решение с заказчиком, удостовериться в адекватности решения исходной формулировке, проверить, как ведет себя полученное решение в предельных точках, а также оценить степень влияния существенных входных параметров на результат. Интересно исследовать общность использованного подхода, рассмотрев такие вопросы:

• Можно ли обобщить данную задачу, сохранив используемый метод решения?

• Существуют ли другие задачи, к которым может быть успешно применен тот же метод решения?

• Существуют ли другие методы решения для той же задачи?

Проиллюстрируем проблемы, типичные для первого и второго этапов решелйя задачи, рассмотрев ситуации, представленные на рис. 2.1-2.4.

Пример с фигурой, изображенной на рис. 2.1, хорошо известен. Изображенная здесь фигура может рассматриваться как куб с передней гранью, расположенной внизу слева, или же, наоборот, как куб, в качестве передней грани которого рассматривается грань, расположенная справа вверху (в предыдущем рассмотрении она была задней).

Рис. 2.1.

Рис. 2.2.

Рис. 2.3.

Этот пример доказывает, что наша зрительная система постоянно осуществляет интерпретацию изображения. Это становится более очевидным при рассмотрении рис. 2.2. Поворачивая рисунок, можно попеременно видеть в нем то дом, то пляжную кабинку, то брусок, срезанный “в угол” с одного конца.

Рис. 2.4.

Рис. 2.5.

На рис. 2.3 требуется провести через каждую из 9 точек ломаную линию, не отрывая карандаша от бумаги так, чтобы получилось не более 4 линейных фрагментов. Если при решении этой задачи пытаются провести ломаную прямую внутри квадрата, состоящего из девяти точек, то решения найти невозможно. Однако приведенная формулировка задачи на самом деле не накладывает такого ограничения. (Решение задачи показано на рис. 2.5.) Что касается задачи на рис. 2.4, где требуется построить 4 равновеликих треугольника, используя для этого 6 спичек, то 2 лишних ограничения, которые мы, как правило, подразумеваем, и которых нет в условиях задачи, должны быть сняты, чтобы отыскать решения. Другими словами, спички могут пересекаться и решение не обязательно должно быть плоским. Теперь легко находятся два

решения задачи: одно в плоскости (рис. 2.6), другое решение — объемное (рис. 2.7).

Следующий пример касается задачи, сформулированной на обычном разговорном языке.

“Один жестокий король заточил в подземелье молодую девушку за то, что она не захотела выйти за него замуж. Истек год заключения, но девушка не отказалась от своего решения.

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.

Тогда король приказал вывести ее во двор замка и предложил ей следующее. Король выберет среди камешков двора два (черный и белый) и спрячет один в правой руке, а другой в левой. Если девушка выберет руку, в которой окажется белый камешек, она будет освобождена, но если в руке окажется черный камешек, девушка выйдет замуж за короля.

Девушка приняла эти условия с большой тревогой, которая переросла в ужас, когда девушка заметила, что король поднял с земли только черные камешки! Как же ей поступить?”

При формальном подходе задача, поставленная таким образом, не имеет решения. Однако на самом деле нарушение королем условия задачи о выборе из двух камешков разного цвета обернулось против него. Девушка выхватила один камешек из рук короля и как бы нечаянно уронила его на землю, где его нельзя было отличить от других таких же камней. “Ах, извините меня, — воскликнула девушка, — но теперь по цвету того камешка, который остался у Вас, Ваше Величество, мы определим цвет того камешка, что решит мою судьбу.” И так как это был черный камешек, то девушка стала свободной.

Эти простые примеры показывают, что первый и второй этапы решения задачи в общем случае частично перекрываются. Отсюда, в частности, вытекает, что задача в том виде, как она “понята”, не имеет решения, и только отыскивая решение, выделяют истинную задачу, устраняя лишние ограничения.

Другой, но относительно часто встречающийся случай, когда мы не можем в явном виде представить условия задачи, относится к решениям типа “все или ничего”. В этом случае решение возникает мгновенно после внутренней подсознательной работы. В качестве примера приведем следующую задачу.

“Допустим Вы одни в пустой комнате, где имеются два идентичных железных бруска, один из которых намагничен, а другой — нет. Необходимо определить, какой из брусков намагничен. Бруски тяжелые, твердые, прочные. Ничего другого у Вас не имеется”.

Такое условие является единственным в своем роде. Мы обезоружены. Число операторов, т. е. возможных действий, крайне невелико.

Рис. 2.8. Два квадрата со сторонами используемые при доказательстве теоремы Пифагора.

Велико искушение опустить руки и признать, что задача не имеет решения. Поразмышляйте еще немного прежде, чем прочтете следующее: решение задачи существует, и оно очень простое.

Ситуация несколько похожа на предыдущую. Проблема в том, чтобы “разорвать” симметрию. Но в данном случае решение должно основываться на знании физики и на том, что единственными предметами, доступными для манипуляций, являются эти два бруска. Магнитное притяжение проявляется совершенно симметрично в отношении обоих брусков, за исключением единственного места, а именно середины намагниченного бруска. Этот участок не намагничен. Достаточно приставить конец одного из брусков, например бруска А, к середине другого бруска В, и если притяжения не происходит, намагничен брусок В, а если бруски притягиваются, намагничен брусок А.

Третий этап, связанный с проигрыванием ситуации, является наиболее важным в начале решения. Прежде всего покажем на

очень простом примере, как уже этот этап может помочь найти интересные решения.

Например, как доказать теорему Пифагора, используя линейку и экер (прямоугольный чертежный треугольник)? Естественной является мысль рассматривать экер в качестве прямоугольного треугольника из теоремы, где — его катеты, а с — гипотенуза. Чтобы возникла величина на чертеже, надо расположить экер вдоль линейки двумя различными способами. Полученные в результате построения два квадрата равной площади со стороной показаны на рис. 2.8. Площадь большого квадрата по построению равна и если Т есть площадь треугольника, то площадь правого большого квадрата равна а площадь равного ему левого квадрата равна что доказывает теорему.