Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.8. Из истории развития и преподавания математикиСобственно математике предшествует длительная предыстория порядка четырех тысяч лет. Высшие животные и совсем маленькие дети воспринимают в окружающем мире две основные абстрактные сущности: число и форму. Таким образом, арифметика и геометрия длительное время были двумя отдельными фундаментальными науками. В древности различение чисел человеком не было вполне ясным и точным. В первобытных обществах человек не различал две совокупности, содержащие почти равные количества элементов. Он едва умел считать: один, два, много. В латыни понятие “много” обозначается словом tres, продолжающем и сейчас жить во французском языке в виде слова trois (три)! Звездные миры были замечены наблюдателями, принадлежавшими к самым древним цивилизациям, которые постоянно наблюдали скопления звезд на небе. Мы знаем также, что шумеры Урука и Ниппура еще три тысячи лет тому назад уже пользовались лунным календарем. Им пришла идея представлять числа с помощью символов. При этом Луна обозначала единицу, а другие небесные объекты — последующие числа. Необходимость делать расчеты и затем записывать их результаты привела к использованию более удобных обозначений. Вертикальной или наклонной чертой стали обозначать единицу в Финикии, Сирии, Древней Греции, Южной Аравии, Индии. Совокупности из пяти, десяти или двадцати единиц стали обозначать специальными символами, образованными от их названий. Все это были аддитивные системы счисления, т. е. закодированное ими число представляло собой сумму записанных символов. В Вавилонии была изобретена своя 60-ричная система счисления. Ее основные символы имели значения 1, 10, 60, затем 600, 3600, 36 000 и т. д. Эта система используется и в наши дни, в. частности в астрономии для определения мер времени и угловых мер. Многие народы использовали идею представления чисел при помощи букв своего алфавита. Стали придавать особый смысл определенным числам, что породило кабалистические вычисления. Число, соответствующее какой-либо букве, становится функцией положения буквы в слове. Стала ощущаться необходимость в обозначении понятия “ничего”. Происхождение нуля до сего времени остается неясным. Можно считать установленным, что в индийскиих текстах шестого века нуль обозначался точкой. В астрономических записях древних греков нуль обозначался буквой О, являвшейся начальной буквой греческого слова Современное написание цифр нашей десятичной системы счисления пришло к нам из Западной Индии через арабов. Только в 13 в. эти цифры проникли в Италию через флорентийских купцов. Их использование стало повсеместным в 15 в. Следы истории их появления остались в словах “цифра” и “зеро” (нуль), которые происходят от арабского слова sifr (zero). С изобретением книгопечатания (1440 г.) цифры принимают окончательную форму. Использование запятой в вещественных числах распространяется только в XVIII в. Четыре арифметических действия знали еще египтяне, но их представление часто было очень неудобным. Так, смежное расположение чисел обозначает сложение, а греческая буква знака + из слова et (и). Знак — появился из обычая отделять в счетах чистый вес от веса тары с помощью горизонтальной черты. Отметим, однако, что Марсель Коэн в своей интересной книге “Великое изобретение — письменность и ее эволюция” пишет, что знаки + и — появились как сокращения слов plus (плюс) и minus (минус). Современные знаки умножения и деления были введены в 17 в. Равенство обозначалось в Европе 17 в. знаком Мы рассказываем обо всем этом по двум причинам. Во-первых, чтобы показать, что человечество потратило многие тысячи лет для “приручения” числа, а наука и вовсе развивается только несколько веков. Математика возникла не в один день, и ее детство еще недалеко от нас. Что же удивительного в том, если у какого-то школьника встречаются трудности в овладении предметом, когда человечество затратило так много времени, чтобы выработать представление чисел и операций. Во-вторых, вопрос о представлении конкретных или абстрактных объектов является центральным для искусственного интеллекта. Дать представление чего-то означает прежде всего умение выделить из общей массы объект, выявить его важность и практическую ценность. Отсюда следует, что его свойства должны быть определены и переведены в форму, удобную для манипулирования с ним. Таким образом, дать представление означает понять. Если сегодня биология начинает объяснять представление наследственной информации в генах живых существ, то нейрологи и психологи еще далеки от того, чтобы дать объяснение тому, каким образом в нашем мозге закодированы и организованы наши знания. Не исключено, что исследования в области искусственного интеллекта дадут какие-то ответы на этот вопрос. Уже во времена Евклида (третий век до нашей эры) геометры умели обозначать абстрактные объекты с помощью букв. Папус Александрийский (третий век), а затем Диофант (четвертый век) постепенно вводят подобные обозначения для неизвестных чисел. Франсуа Виет, докладчик в Государственном совете при Генрихе IV, в своем трактате “Искусство анализа” первым ввел систематическое использование такого буквенного представления и таким образом является праотцом современной алгебры. В сочинениях Виета встречаются, например, такие выражения:
Первые буквы алфавита (А и D) заменяют неизвестные величины, слово
Виет уже умеет оперировать с такими выражениями. Например, он выводит из предыдущего выражения следующее: Декарт в XVII в. нормализует и расширяет этот формализм. Он ввел в обращение наши знаки операций Индексы и показатели появляются довольно поздно. Так Эйлер (1707—1783) использует выражение Введение обозначений для функций проходило не без трудностей, причем единогласия в этой области не имеется еще и до сих пор. Постоянно смешиваются сама функция рассматривать выражение как функцию от одной из его составляющих. Так, в физике или механике пишут Такие обозначения являются неприемлемыми из-за их непоследовательности и сложности для начинающего. Но, с другой стороны, проблема усложняется тем, что невозможно ввести свой символ для каждой функциональной зависимости. Черч и Карри в 1950 г. предложили Чтобы сделать наглядными логические рассуждения, Эйлер использовал идею диаграмм типа кругов, отражающих множества и получивших название диаграмм Венна (1834—1923). Льюис Кэрролл (1882—1898) предложил другой тип диаграмм, которые сохраняли свойства сопряженности между множеством и его дополнением. Это нашло применение в булевой алгебре. Под влиянием символов Отрицание иногда обозначается знаком Квантор существования 3 был также введен Пеано. Рассел и Уайтхед (1903) дополнительно ввели еще квантор всеобщности, для обозначения которого они просто заключали переменную в скобки. Только гораздо позже (в 1920 г.) был введен для него знак V. Г. Фреге (1848—1925) ввел знак утверждения, для которого он использовал обозначение Н. Так, выражение Группа французских математиков, публикующая свои труды в виде монографий “Элементы математики” под псевдонимом Никола Бурбаки, как бы “узаконила” использование значительного числа таких символов и ввела в свою очередь еще ряд новых символов (среди них уже упоминавшийся знак На практике часто путают обычное значение знака Другой тип неопределенности, присущей обычному языку, встречается и в математическом языке. Например, когда определяют какую-то группу языка, связанная с тем, что переменная В связи со сказанным выше любой перевод с обычного языка на язык математики должен производиться с осторожностью. Например, во фразе на французском языке “Uti triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit” (Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой), трижды встречается неопределенный артикль Союз “или” используется иногда в качестве “или исключительно” (например, белое или черное), а иногда как “или включительно” (например, много или мало), что соответствует двум различным понятиям в математике. Уже на ранних этапах обучения детям говорят о таких псевдоматематических выражениях, как: “два на два дает четыре” и “больше на меньше дает меньше”. Этот тип необъясняемого рискованного приравнивания часто вызывает у детей непонимание, из которого потом возникают неожиданные следствия. Например, учитель спрашивает: “Какое целое следует после я?” И ученик отвечает: “О”. “Пусть целое q". “Но”, — прерывает себя ученик, — “q не есть целое число, это буква”... Или, например, такое упражнение: «Укажите множество значений х алфавита, таких, что х есть гласная”. Но каков же должен быть ответ? Что это множество пустое, так как х есть согласная?.. Таким образом, перевод условий задачи с естественного языка на формализованный является непростой задачей. Этот первый этап решения присутствует в каждой научной дисциплине: алгебре, геометрии, математическом анализе, химии, физике. Специалисты но исследованию операций, которым постоянно приходится описывать на формализованном языке сложные ситуации, назвали этот процесс моделированием. Однако и язык математики не лишен условностей, связанных с тем, что часть информации не задается в явном виде, а подразумевается. Значение символов часто неявно содержится в самих символах. Например, “неизвестные” обозначаются буквами х, у, z; целые величины обозначаются обычно буквами Теперь посмотрим, что требуется от учащегося, и какова история преподавания математики. Греческие “школы” времен Сократа (пятый век до нашей эры), Платона и Аристотеля (четвертый век до нашей эры), Евклида (третий век до нашей эры) справедливо знамениты. “Элементы геометрии” Евклида долго оставались образцом строгости и ясности изложения. Около 290 г. Папус Александрийский опубликовал свою “Математическую коллекцию”, а около 370 г. Диофант опубликовал свою “Арифметику”. После оригинальных и важных достижений древних греков Европа пережила долгий период застоя точных наук. И только итальянское Возрождение дало новый толчок как исследованиям, так и преподаванию наук. До этой эпохи занятия математикой были прерогативой элиты. Ею занимались в философских кружках и светских салонах. Впрочем именно учитель философии преподавал математику в колледжах. Кроме того, техникой счета занимались также в некоторых специальных учебных заведениях — школах архитектуры, астрономии, навигации, военного искусства. Великая французская революция, осуществив реформу школы, поставила преподавание точных наук на тот уровень, который в основном сохранился до наших дней. Тогда же была введена и метрическая система. В 1794 г. Лаканаль и Монж основали Политехническую школу. В 1808 г. в Сорбонне была организована кафедра трансцендентальной математики. (Сорбоина с момента своего основания в 1227 г. Робером де Сорбоном была теологическим колледжем.) С тех пор учебные программы лицеев и колледжей рассчитаны на тех, кто претендует на поступление в Политехническую школу и Парижский университет. Итак, учащимся преподают математику по программе, а не учат математическим навыкам и умениям. Очень малое число авторов интересуется феноменом открытия, методами «активного» обучения, индуктивными рассуждениями, изучением способов мышления, эвристикой в педагогике (здесь речь идет о том, чтобы заставить ученика самого открыть то, чему его хотят научить), дидактикой научных дисциплин (от греческого “преподавать”, здесь речь идет об изучении самого преподавания как явления в его познавательных аспектах и с точки зрения техники преподавания, а также об оценке этого явления во всех его сложностях). Селестен Френе создал в 1940 г. школу нового типа, в которой основное внимание уделялось педагогике сотрудничества и группового обучения. Имеется очень мало публикаций, в которых математики объясняли бы, как именно они пришли к какому-то важному результату. Можно даже сказать, что традиционное редактирование математических текстов все сделало для того, чтобы скрыть самые первые индуктивные шаги к будущему результату. Рассуждение по большей части представляет собой обратное тому, что первоначально подразумевалось. Доказательство представляет собой очищенную аргументами эвристику. Первоначальные представления изменены и закодированы путем использования математических обозначений, и наконец, введенные объекты получают окончательный вид. Педагоги сегодня великолепно осознают эти проблемы, но решить их не просто. Создание “современной” математики было попыткой, хотя и не вполне успешной, решить некоторые из этих проблем. В искусственном интеллекте исследователи из разных сфер деятельности интересуются как раз этим эвристическим этапом.
|
1 |
Оглавление
|