2.8. Из истории развития и преподавания математики

Собственно математике предшествует длительная предыстория порядка четырех тысяч лет. Высшие животные и совсем маленькие дети воспринимают в окружающем мире две основные абстрактные сущности: число и форму. Таким образом, арифметика и геометрия длительное время были двумя отдельными фундаментальными науками. В древности различение чисел человеком не было вполне ясным и точным. В первобытных обществах человек не различал две совокупности, содержащие почти равные количества элементов. Он едва умел считать: один, два, много. В латыни понятие “много” обозначается словом tres, продолжающем и сейчас жить во французском языке в виде слова trois (три)!

Звездные миры были замечены наблюдателями, принадлежавшими к самым древним цивилизациям, которые постоянно наблюдали скопления звезд на небе. Мы знаем также, что шумеры Урука и Ниппура еще три тысячи лет тому назад уже пользовались лунным календарем. Им пришла идея представлять числа с помощью символов. При этом Луна обозначала единицу, а другие небесные объекты — последующие числа. Необходимость делать расчеты и затем записывать их результаты привела к использованию более удобных обозначений. Вертикальной или наклонной чертой стали обозначать единицу в Финикии, Сирии, Древней Греции, Южной Аравии, Индии. Совокупности из пяти, десяти или двадцати единиц стали обозначать специальными символами, образованными от их названий. Все это были аддитивные системы счисления, т. е. закодированное ими число представляло собой сумму записанных символов.

В Вавилонии была изобретена своя 60-ричная система счисления. Ее основные символы имели значения 1, 10, 60, затем 600, 3600, 36 000 и т. д. Эта система используется и в наши дни,

в. частности в астрономии для определения мер времени и угловых мер. Многие народы использовали идею представления чисел при помощи букв своего алфавита. Стали придавать особый смысл определенным числам, что породило кабалистические вычисления. Число, соответствующее какой-либо букве, становится функцией положения буквы в слове. Стала ощущаться необходимость в обозначении понятия “ничего”. Происхождение нуля до сего времени остается неясным. Можно считать установленным, что в индийскиих текстах шестого века нуль обозначался точкой. В астрономических записях древних греков нуль обозначался буквой О, являвшейся начальной буквой греческого слова обозначавшего “ничего”.

Современное написание цифр нашей десятичной системы счисления пришло к нам из Западной Индии через арабов. Только в 13 в. эти цифры проникли в Италию через флорентийских купцов. Их использование стало повсеместным в 15 в. Следы истории их появления остались в словах “цифра” и “зеро” (нуль), которые происходят от арабского слова sifr (zero).

С изобретением книгопечатания (1440 г.) цифры принимают окончательную форму. Использование запятой в вещественных числах распространяется только в XVIII в. Четыре арифметических действия знали еще египтяне, но их представление часто было очень неудобным. Так, смежное расположение чисел обозначает сложение, а греческая буква — вычитание. Переписчики в средние века выработали окончательную форму

знака + из слова et (и). Знак — появился из обычая отделять в счетах чистый вес от веса тары с помощью горизонтальной черты. Отметим, однако, что Марсель Коэн в своей интересной книге “Великое изобретение — письменность и ее эволюция” пишет, что знаки + и — появились как сокращения слов plus (плюс) и minus (минус). Современные знаки умножения и деления были введены в 17 в. Равенство обозначалось в Европе 17 в. знаком который использовался астрономами для обозначения созвездия Тельца. Одновременно для той же цели использовалось латинское слово aequalis. Оно сначала было укорочено до ае, а затем превратилось в знак =. Тогда символом стали обозначать число 1000. Около 1660 г. Дж. Уоллес стал обозначать этим знаком бесконечность.

Мы рассказываем обо всем этом по двум причинам. Во-первых, чтобы показать, что человечество потратило многие тысячи лет для “приручения” числа, а наука и вовсе развивается только несколько веков. Математика возникла не в один день, и ее детство еще недалеко от нас. Что же удивительного в том, если у какого-то школьника встречаются трудности в овладении предметом, когда человечество затратило так много времени, чтобы выработать представление чисел и операций.

Во-вторых, вопрос о представлении конкретных или абстрактных объектов является центральным для искусственного интеллекта. Дать представление чего-то означает прежде всего умение выделить из общей массы объект, выявить его важность и практическую ценность. Отсюда следует, что его свойства должны быть определены и переведены в форму, удобную для манипулирования с ним. Таким образом, дать представление означает понять. Если сегодня биология начинает объяснять представление наследственной информации в генах живых существ, то нейрологи и психологи еще далеки от того, чтобы дать объяснение тому, каким образом в нашем мозге закодированы и организованы наши знания. Не исключено, что исследования в области искусственного интеллекта дадут какие-то ответы на этот вопрос.

Уже во времена Евклида (третий век до нашей эры) геометры умели обозначать абстрактные объекты с помощью букв. Папус Александрийский (третий век), а затем Диофант (четвертый век) постепенно вводят подобные обозначения для неизвестных чисел. Франсуа Виет, докладчик в Государственном совете при Генрихе IV, в своем трактате “Искусство анализа” первым ввел систематическое использование такого буквенного представления и таким образом является праотцом современной алгебры. В сочинениях Виета встречаются, например, такие

выражения:

Первые буквы алфавита (А и D) заменяют неизвестные величины, слово стоит вместо знака умножения, линейная форма записи выражений еще неизвестна. В современных обозначениях это выражение выглядит так

Виет уже умеет оперировать с такими выражениями. Например, он выводит из предыдущего выражения следующее: так относится к как к Это дает ему возможность решать уравнения.

Декарт в XVII в. нормализует и расширяет этот формализм. Он ввел в обращение наши знаки операций и предложил употреблять последние буквы алфавита для обозначения неизвестных. Символ х приплел к нам от арабов (от слова says, обозначающего какой-то предмет, нечто). Именно Декарт отказался от использования классических обозначений, пришедших из греческого и древнееврейского письма, в пользу современных обозначений. Наконец, Декарт объединил науки о числах и фигурах, заложив основы аналитической геометрии, и тем самым установил глубокое единство математики, которое было еще углублено в последующие века.

Индексы и показатели появляются довольно поздно. Так Эйлер (1707—1783) использует выражение для и только Эварист Галуа (1811—1832) первым начинает пользоваться индексами. Но еще Жордан и затем сам Гильберт в начале нашего века не приняли этого новшества и продолжали писать в тяжелой и неудобочитаемой манере, когда порядок букв в алфавите играл роль неявной индексации. Функциональные символы были введены Лейбницем и Иоганном Бернулли. Знак суммирования был введен Эйлером.

Введение обозначений для функций проходило не без трудностей, причем единогласия в этой области не имеется еще и до сих пор. Постоянно смешиваются сама функция и ее значение в точке Часто пишут вместо Производная почти всегда смешивается с ее значением. Эта ошибка вызывается принятыми обозначениями. Еще более вопиющими являются такие ошибки в случае частных производных. Проблема обозначений усложняется, когда требуется

рассматривать выражение как функцию от одной из его составляющих. Так, в физике или механике пишут рассматривая у как функцию времени, а затем записывают рассматривая ее как функцию положения, и наконец, просто у как функцию вообще.

Такие обозначения являются неприемлемыми из-за их непоследовательности и сложности для начинающего. Но, с другой стороны, проблема усложняется тем, что невозможно ввести свой символ для каждой функциональной зависимости.

Черч и Карри в 1950 г. предложили -запись: символы перед каким-либо выражением трансформируют его в функцию от х. Таким образом линейная функция от х записывается в виде Это представляет собой весьма элегантное решение проблемы. Здесь лежит начало языка программирования Лисп, созданного Маккарти в 1960 г. Символическая логика и язык теории множеств возникают очень поздно. В 1891 г. Пеано ввел знак принадлежности е. Включение обозначается как или и затем позже Хаусдорф вводит в 1920 г. обозначение Именно это обозначение сегодня является предпочтительным. После различных попыток ввести собственные обозначения сегодня снова наиболее распространенными для обозначения пересечения, объединения и импликации являются обозначения Пеано П. Последний символ является обратным к символу включения. Так, если то Гильберт пользуется стрелкой для обозначения импликации. Такое обозначение совпадает с обозначением отображения в теории множеств и со знаком переписывания. Школа Бурбаки предпочитает для импликации знак который широко используется сегодня. Что касается нас, то мы предпочитаем, как и логики, пользоваться обозначениями Пеано.

Чтобы сделать наглядными логические рассуждения, Эйлер использовал идею диаграмм типа кругов, отражающих множества и получивших название диаграмм Венна (1834—1923). Льюис Кэрролл (1882—1898) предложил другой тип диаграмм, которые сохраняли свойства сопряженности между множеством и его дополнением. Это нашло применение в булевой алгебре.

Под влиянием символов и логические ИЛИ и И стали обозначаться соответственно V и А.

Отрицание иногда обозначается знаком иногда чертой сверху или знаком (тильда). Так как все эти знаки имеют и другое значение, то Хейтинж предложил в 1937 г. использовать для обозначения отрицания знак П, который принят в этой книге.

Квантор существования 3 был также введен Пеано. Рассел и Уайтхед (1903) дополнительно ввели еще квантор

всеобщности, для обозначения которого они просто заключали переменную в скобки. Только гораздо позже (в 1920 г.) был введен для него знак V. Г. Фреге (1848—1925) ввел знак утверждения, для которого он использовал обозначение Н. Так, выражение означает

Группа французских математиков, публикующая свои труды в виде монографий “Элементы математики” под псевдонимом Никола Бурбаки, как бы “узаконила” использование значительного числа таких символов и ввела в свою очередь еще ряд новых символов (среди них уже упоминавшийся знак обозначение С для дополнения множества и многочисленные обозначения в теории групп). Эти монографии, переведенные на многие языки мира, сделали многое для стабилизации обозначений, манеры и стиля современной математики. Однако постепенно формальный язык стал сильно отличаться от обычного языка. Там, где в обычном языке встречаются “разделители” (союзы) “и”, “или”, “так как”, математик предпочитает использовать такие группирующие символы, как круглые, квадратные или фигурные скобки и горизонтальные черточки. Символ равенства, обозначающий идентичность двух объектов, предпочитают использовать в качестве разделителя. В результате между обычным языком и языком математики образовалось определенное смешение способов выражения. Поэтому очень наивно выглядят некоторые математические выражения, например “для всякого в котором символ у может иметь двоякий смысл. На самом деле это выражение следовало бы записать так: тогда как предыдущую запись, строго говоря, надо прочитать так: каково бы ни было равенство типа

На практике часто путают обычное значение знака описанное выше, и его роль в качестве оператора присваивания. Таким рбразом, идентичность, выражаемая с помощью знака равенства, например такая, как является таким же правилом переписывания, как или Знак служит также для задания определений, например в выражении , кроме того, еще и для ввода сокращенных обозначений. Например, положим или где правая часть используется в виде самостоятельного блока.

Другой тип неопределенности, присущей обычному языку, встречается и в математическом языке. Например, когда определяют какую-то группу вначале постулируют, что для всех из существует такое, что . И затем продолжают: . Тут, однако, имеется некоторая неоднозначность математического

языка, связанная с тем, что переменная существование которой определяется вначале, не имеет никакого отношения к переменной из второй половины определения, хотя для их обозначения использована одна и та же буква е. Такого рода неоднозначности не могут не вызывать определенных затруднений у тех, кто разрабатывает системы автоматического доказательства теорем.

В связи со сказанным выше любой перевод с обычного языка на язык математики должен производиться с осторожностью. Например, во фразе на французском языке “Uti triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit” (Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой), трижды встречается неопределенный артикль (всочетаниях со словами “прямоугольный треугольник”, “треугольник” и “прямой угол”). Однако если в первом случае артикль имеет смысл универсальности (любой прямоугольный треугольник), то в третьем случае он употреблен в смысле существования (т. е. “имеется, существует именно прямой угол”). Глаголы “быть, есть, является” служат иногда признаком того, что вводится какое-то определение, иногда признаком какого-то свойства, а иногда признаком принадлежности.

Союз “или” используется иногда в качестве “или исключительно” (например, белое или черное), а иногда как “или включительно” (например, много или мало), что соответствует двум различным понятиям в математике.

Уже на ранних этапах обучения детям говорят о таких псевдоматематических выражениях, как: “два на два дает четыре” и “больше на меньше дает меньше”. Этот тип необъясняемого рискованного приравнивания часто вызывает у детей непонимание, из которого потом возникают неожиданные следствия. Например, учитель спрашивает: “Какое целое следует после я?” И ученик отвечает: “О”. “Пусть целое q". “Но”, — прерывает себя ученик, — “q не есть целое число, это буква”... Или, например, такое упражнение: «Укажите множество значений х алфавита, таких, что х есть гласная”. Но каков же должен быть ответ? Что это множество пустое, так как х есть согласная?..

Таким образом, перевод условий задачи с естественного языка на формализованный является непростой задачей. Этот первый этап решения присутствует в каждой научной дисциплине: алгебре, геометрии, математическом анализе, химии, физике. Специалисты но исследованию операций, которым постоянно приходится описывать на формализованном языке сложные ситуации, назвали этот процесс моделированием.

Однако и язык математики не лишен условностей, связанных с тем, что часть информации не задается в явном виде, а

подразумевается. Значение символов часто неявно содержится в самих символах. Например, “неизвестные” обозначаются буквами х, у, z; целые величины обозначаются обычно буквами для вещественных величин используются буквы угловые величины обозначаются буквами греческого алфавита ; для функций используются символы множества обозначаются прописными буквами. Некоторые буквы, такие, как зарезервированы для обозначения специальных величин. Кроме того, язык математики воспринял и некоторые недостатки естественного языка. Так, например, “группа Ли” не имеет отношения к группам. Поэтому учащийся должен уметь читать между строк и понимать с полуслова.

Теперь посмотрим, что требуется от учащегося, и какова история преподавания математики.

Греческие “школы” времен Сократа (пятый век до нашей эры), Платона и Аристотеля (четвертый век до нашей эры), Евклида (третий век до нашей эры) справедливо знамениты. “Элементы геометрии” Евклида долго оставались образцом строгости и ясности изложения. Около 290 г. Папус Александрийский опубликовал свою “Математическую коллекцию”, а около 370 г. Диофант опубликовал свою “Арифметику”. После оригинальных и важных достижений древних греков Европа пережила долгий период застоя точных наук. И только итальянское Возрождение дало новый толчок как исследованиям, так и преподаванию наук.

До этой эпохи занятия математикой были прерогативой элиты. Ею занимались в философских кружках и светских салонах. Впрочем именно учитель философии преподавал математику в колледжах. Кроме того, техникой счета занимались также в некоторых специальных учебных заведениях — школах архитектуры, астрономии, навигации, военного искусства.

Великая французская революция, осуществив реформу школы, поставила преподавание точных наук на тот уровень, который в основном сохранился до наших дней. Тогда же была введена и метрическая система. В 1794 г. Лаканаль и Монж основали Политехническую школу. В 1808 г. в Сорбонне была организована кафедра трансцендентальной математики. (Сорбоина с момента своего основания в 1227 г. Робером де Сорбоном была теологическим колледжем.) С тех пор учебные программы лицеев и колледжей рассчитаны на тех, кто претендует на поступление в Политехническую школу и Парижский университет.

Итак, учащимся преподают математику по программе, а не учат математическим навыкам и умениям. Очень малое число авторов интересуется феноменом открытия, методами

«активного» обучения, индуктивными рассуждениями, изучением способов мышления, эвристикой в педагогике (здесь речь идет о том, чтобы заставить ученика самого открыть то, чему его хотят научить), дидактикой научных дисциплин (от греческого “преподавать”, здесь речь идет об изучении самого преподавания как явления в его познавательных аспектах и с точки зрения техники преподавания, а также об оценке этого явления во всех его сложностях).

Селестен Френе создал в 1940 г. школу нового типа, в которой основное внимание уделялось педагогике сотрудничества и группового обучения.

Имеется очень мало публикаций, в которых математики объясняли бы, как именно они пришли к какому-то важному результату. Можно даже сказать, что традиционное редактирование математических текстов все сделало для того, чтобы скрыть самые первые индуктивные шаги к будущему результату. Рассуждение по большей части представляет собой обратное тому, что первоначально подразумевалось. Доказательство представляет собой очищенную аргументами эвристику. Первоначальные представления изменены и закодированы путем использования математических обозначений, и наконец, введенные объекты получают окончательный вид. Педагоги сегодня великолепно осознают эти проблемы, но решить их не просто. Создание “современной” математики было попыткой, хотя и не вполне успешной, решить некоторые из этих проблем. В искусственном интеллекте исследователи из разных сфер деятельности интересуются как раз этим эвристическим этапом.