Глава 3. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
3.1. Введение
В формальной логике разрабатываются методы правильных рассуждений, представляющих собой цепь умозаключений в логически последовательной форме. Рассуждения в ней изучаются с точки зрения формы, а не смысла, и с этой целью в обычных рассуждениях выделяются определенные элементы, которые могут замещаться в них произвольным образом какими-то другими элементами. Например, в хорошо известном силлогизме (обычно приписываемом Аристотелю, но в действительности принадлежащему Г. Оккаму (1349 г.))
в обоих случаях вхождения слов человек (люди)”, “смертен (смертны)”, “Сократ” могут быть заменены любыми другими словами и при этом само рассуждение останется формально допустимым. Таким образом, уже простая замена таких слов в рассуждениях символьными обозначениями позволяет строить обобщенные суждения на основе подобных рассуждений. Так, в приведенном примере абстрактная модель этого рассуждения принимает следующий вид:
В силлогистике, создателем которой был Аристотель, как раз и начали систематически применяться такие замещающие символы, позднее получившие название переменных (впервые они встречаются в “Оргаионе”).
Однако при формальном описании рассуждений, подобных тем, что встречаются в обычном языке, недостаточно введения одних только переменных. В этом случае возникает необходимость в словах типа “если, тогда, или, и, так как, следовательно”, а также в таких глаголах, как “есть, принадлежит, влечет, следует”, которые играют фундаментальную роль в рассуждении. Это фундаментальные элементы представляют собой слова — связки формального рассуждения и не допускают никаких замен. Например, рассматриваемый нами силлогизм тут же разрушается, если заменить в нем второе по порядку следования “если” на “или”. Такие фиксированные, незаменяемые элементы называются операторами.
Отметим, что в обычном языке союз «или» может принимать различные значения. Иногда он означает «или то или другое, или и то и другое вместе» (это или включительное), а иногда «или» означает «одно из двух — либо то, либо другое» (это или исключительное). Аналогично глагол “есть, является” означает иногда включение, иногда равенство, а иногда принадлежность. В связи с этим возникает необходимость использовать различные символы для обозначения и отражения различных значений и оттенков подобных слов.
Одна из задач формальной логики — выявление неоднозначностей и изучение отдельных этапов рассуждений или выводов, когда шаг за шагом строго доказывается их правильность вне зависимости от используемой интерпретации и не остаются неясности ни на одном этапе.
Став составной частью философии и имея в числе своих создателей таких великих ученых, как Аристотель, Авиценна, Абеляр, Кант, Лейбниц, формальная логика с течением времени приобретает все более математический характер. Благодаря результатам, которые были получены в этой области Д. Венном, Г. Булем, А. Морганом и затем стали использоваться в других научных дисциплинах, начинает осуществляться мечта Лейбница о разработке и практической реализации универсальной символики. Однако здесь необходимо отличать формализованные рассуждения от аргументации, используемой людьми в устной или письменной обычной речи, хотя первоначально логика была теорией правильной аргументации.
Лишь начиная с трудов Г. Фреге, затем Г. Пеано и, наконец, с монументального труда Б. Рассела и А. Уайтхеда «Основания математики» (1913 г.), формальная логика полностью отделилась от разговорного языка и выделилась в самостоятельную дисциплину, базирующуюся на собственной знаковой системе. При этом возникли новые и серьезные проблемы, в частности следующие:
1. Не приводит ли к порочному кругу идея изучения на формальном уровне с. помощью собственных формализмов самой формальной логики?
2. В какой степени допустимо распространение математических методов на логику?
3. Каким образом переходить от логического символизма, свободного от смысловогр содержания, к конкретной интерпретации, связанной с той или иной предметной областью?
Интересно отметить, что уже начиная с времен Древней Греции “Начала” Евклида считались примером строго дедуктивного рассуждения. И лишь только в 1882 г. М. Паш сформулировал в явном виде несколько фундаментальных гипотез, которые
до этого времени только подразумевались (например, утверждение о том, что между двумя любыми несовпадающими точками всегда найдется третья точка, отличная от первых двух).
В 1895 г. Д. Гильберт предложил программу построения всей математики на основе ограниченного числа 
. Однако в 1931 г. К. Гедель своей знаменитой фундаментальной теоремой показал, что такая программа неосуществима. Он также указал на внутренние ограничения теории формального вывода и вообще формальных систем.
Важность подобного подхода, связанного с теорией теории или метатеорией, отмечается на протяжении всей книги.
