3.8. Примеры использования унификации

Ниже приведены примеры использования больших возможностей, предоставляемых алгоритмом унификации во многих областях практической деятельности человека.

3.8.1. Проблемы аналогии

В настоящее время хорошо известны различные тесты на уровень интеллектуального развития, которым подвергаются Претенденты на ту или иную работу. К ним относится и тест

с использованием семейства геометрических фигур, представленных на рис. 3.11. Требуется найти среди фигур 1—3 нижнего ряда рис. 3.11 такую фигуру х, которая бы соответствовала условию: фигура С так соотносится с этой фигурой х, как фигура А с фигурой В. Таким образом, следует определить, какая аналогия существует между фигурами А и В, с одной стороны, и фигурами С их — с другой.

Рис. 3.11. Геометрические тесты.

Другими словами, речь идет о том, можно ли унифицировать фигуру С с левой частью “теоремы” А - В. Затем предусматривается проверка результата унификации на соответствие одному из трех предлагаемых ответов.

Однако что означает здесь А В? Фигура А может быть описана просто как совокупность форм, связанных между собой некоторыми отношениями (так же как в алгебре формулы представляют собой совокупности переменных, связанных между собой с помощью арифметических операций). Таким образом, фигура А может быть описана следующим образом:

(см. скан)

Слова, выделенные прописными буквами, обозначают здесь отношения, смысл которых очевиден. Аналогичным образом

получаем для фигуры В:

(см. скан)

Кроме того, приняв за начальное значение размеры фигур А, следует дополнить описание В указаниями на размер его фигур относительно А:

(см. скан)

Теперь теорема Т есть не что иное, как (описание А) (описание В), или (точка, треугольник, прямоугольник)

(см. скан)

Подобным образом получаем описание фигуры С:

(см. скан)

Задача заключается в следующем:

Можно ли унифицировать описание А с описанием С?

Представим основные этапы алгоритма унификации для данного случая. Отметим, что здесь порядок подвыражений не является существенным: какое-то отношение из А может унифицироваться с каким-то отношением из С независимо от того, в каком порядке они появляются в описаниях соответствующих фигур. Более того, как это обычно принято, изменим наименования переменных из Л и В с тем, чтобы выполняемые подстановки носили наиболее общий характер в Г. В рассматриваемых фигурах некоторые переменные в Л и С по воле случая имеют одни и те же наименования, хотя в действительности не имеется никаких оснований для того, чтобы “треугольники” из А и В были бы в обязательном порядке как-то связаны с “треугольником” из С. Теперь описание теоремы

принимает следующий вид:

Отметим, что эти новые описания сделаны в соответствии с гипотезой, что формы объектов из А и В не учитываются и существенным являются лишь взаимные отношения между ними.

Начнем унификацию описаний из А и С в том порядке, как они расположены в С. Отношение “точка ВНЕ треугольника” может рассматриваться как идентичное следующему отношению: которое в применении к А читают так: а есть точка, есть треугольник. На этой стадии мы знаем, что существует другая возможность, связанная со вторым случаем вхождения отношения ВНЕ в А и с тем фактом, что порядок рассмотрения подвыражений не играет роли. Такой возможностью является унификация подвыражения “точка ВНЕ треугольника” в С с подвыражением с" в А. Рассмотрим вначале первый случай. Подстановки, описанные выше, приводят к новому описанию А:

Следующее отношение в С: “треугольник ВНУТРИ окружности”. Здесь имеется единственная возможность унификации, связанная с отношением “с ВНУТРИ треугольника” описания А. Но мы встречаемся с третьим случаем неудачного применения алгоритма унификации: для идентификации этих двух выражений нужно, с одной стороны, изменить с в треугольнике, что можно сделать; но изменить таким же образом треугольник внутри окружности нельзя, так как это запрещено, как уже указывалось в 3.4.3. Последний запрет связан с тем, что переменные в выражении (в данном случае в выражении с) не могут считаться независимыми. Таким образом, Окружность и Треугольник не являются унифицируемыми, так как они взаимонезависимы в С и играют фактически роль констант. Поэтому остается только попытаться использовать упомянутую выше вторую возможность для унификации:

Для этого замещают точку на а и треугольник на с. Тогда теорема приобретает следующий вид:

Звездочкой отмечено отношение, которое уже унифицировано.

Следующим отношением в С является отношение “треугольник ВНУТРИ окружности”. Это отношение идентифицируется единственным образом с подвыражением «треугольник ВНУТРИ » с помощью подстановки теперь уже окружности вместо . В результате получаем следующий вид теоремы Т:

Последним замещаемым в С отношением является отношение “точка ВНЕ окружности”. Оно непосредственно идентифицируется со вторым отношением из А. Если применить к выражению С теорему т. е. произвести те же преобразования в С, которые позволили перейти от Л к В, то получим описание выражения которое представляет собой выражение В, преобразованное подстановками, позволившими унифицировать А и В, т. е. а/точка, b/окружность, с/треугольник.

(см. скан)

Указанные здесь размеры взяты по отношению к размерам первоначальной фигуры, пусть в данном случае этой фигурой будет С. Теперь остается определить, возможно ли идентифицировать это описание с одной из фигур, предложенных в качестве варианта ответа. Эта задача снова связана с унификацией, поскольку речь идет об унификации двух описаний (вне зависимости от порядка отношений). Этот последний этап является тривиальным в данном случае, поскольку на самом деле здесь нет никакой разрешенной подстановки по той же причине, что

и в случае с “переменными” из выражения С. Правильный ответ: третья фигура справа в нижнем ряду на рис. 3.11.

Отметим, что результат можно было получить гораздо быстрее, если учесть, что А и С содержат только по одному отношению типа «х ВНУТРИ у». Начав с унификации этих отношений, мы получим следующее: С заменим на треугольник, на окружность. Затем делаем замену а на точку и получаем результат.