3.4.1. Интерпретация исчисления высказываний

Вполне строго и в достаточно общем виде интерпретация исчисления высказываний может быть дана следующим образом. Пусть В — множество, состоящее из двух элементов 0 и 1, т. е. где 0 и 1 представляют собой значения “истинно” и “ложно”;

• с — дополнение Множества В в В, определяемое выражением ;

• v (как имеющее значение истинно) в В, при условии что

Пусть теперь означает применение множества пропозициональных формул в В, обладающее двумя следующими свойствами:

Из второго равенства следует, что здесь возможно, противоречие с интуицией: если имеет значение 1 и имеет значение 0, то равно нулю. Иначе говоря,

выражение ложь истина является истинным, т. е. из ложной посылки следует истина.

Формула исчисления высказываний называется тождественно-истинной или тавтологией, если и только если при любых значениях составляющих ее элементов выполняется

Легко проверить, что три аксиомы, входящие в определение логики высказываний, суть тавтологии. Рассмотрим это на примере аксиомы (Л 1):

Следовательно, при если или если Если то равно 0. Если теперь то (по определению не может равняться 1. Таким образом, для любой интерпретации аксиома (А 1) имеет значение 0 (истина) и, следовательно, является тавтологией.

Более того, если суть тавтологии, то поскольку по предположению и не может иметь значение 1, то также суть тавтология. Это свидетельствует о связи правила модуса поненса со всеми интерпретациями. Продолжая эти рассуждения для более сложных формул, приходим к метатеореме 1:

Всякая теорема исчисления высказываний является тавтологией.

Определенный выше класс интерпретации делает исчисление высказываний изоморфным классической алгебре Буля с ее двумя операторами V и А и понятием дополнения, что позволяет установить весьма важную метатеорему 2:

Всякая тавтология суть теорема исчисления высказываний.

Эти метатеоремы в качестве непосредственного следствия имеют вывод о разрешимости исчисления высказываний.