выражение ложь
истина является истинным, т. е. из ложной посылки следует истина.
Формула
исчисления высказываний называется тождественно-истинной или тавтологией, если и только если при любых значениях составляющих ее элементов выполняется
Легко проверить, что три аксиомы, входящие в определение логики высказываний, суть тавтологии. Рассмотрим это на примере аксиомы (Л 1):
Следовательно, при
если
или если
Если
то
равно 0. Если теперь
то (по определению
не может равняться 1. Таким образом, для любой интерпретации
аксиома (А 1) имеет значение 0 (истина) и, следовательно, является тавтологией.
Более того, если
суть тавтологии, то поскольку
по предположению и
не может иметь значение 1, то
также суть тавтология. Это свидетельствует о связи правила модуса поненса со всеми интерпретациями. Продолжая эти рассуждения для более сложных формул, приходим к метатеореме 1:
Всякая теорема исчисления высказываний является тавтологией.
Определенный выше класс интерпретации делает исчисление высказываний изоморфным классической алгебре Буля с ее двумя операторами V и А и понятием дополнения, что позволяет установить весьма важную метатеорему 2:
Всякая тавтология суть теорема исчисления высказываний.
Эти метатеоремы в качестве непосредственного следствия имеют вывод о разрешимости исчисления высказываний.