3.5.3. Структура доказательства теоремы Геделя о неполноте арифметики

Идея доказательства заключается в том, чтобы построить такое выражение, которое свидетельствовало бы о своей

собственной недоказуемости. Такое построение может быть выполнено в три этапа:

• первый этап — установление соответствия между формальной арифметикой и множеством целых чисел (гедели-зации);

• второй этап — построение некоторого специального свойства о котором неизвестно, является ли оно теоремой формальной арифметики или нет;

• третий этап — подстановка в вместо х определенного целого числа, связанного с самим т. е. замещение этими числами всех

Первый этап. Геделизация формальной арифметики

Формальная арифметика может быть арифметизирована (т. е. геделизирована) следующим образом: каждой ее теореме ставится в соответствие некоторое число. Однако так как всякое число также является теоремой, то всякая теорема может рассматриваться, с одной стороны, в качестве теоремы формальной арифметики, а с другой — как теорема над множеством теорем формальной арифметики, т. е. в качестве метатеоремы, соответствующей доказательству некой теоремы.

Таким образом, можно сделать вывод, что система формальной арифметики содержит также и свою собственную метасистему.

Теперь более конкретно и подробно изложим полученные результаты.

Во-первых, мы можем связать с каждым символом и формальной арифметики специальное кодовое обозначение, называемое в данном случае геделевым номером

Во-вторых, каждой последовательности символов мы ставим в соответствие тот же геделев номер с помощью некоторой функции композиции Пусть где представляют собой последовательности символов, которые образуют

В-третьих (и это существенно), каждому доказательству последовательности аксиом и правил подстановки (или правил замещения) ставится в соответствие число где обозначает последовательность теорем, используемых при доказательстве

Таким образом, всякому доказательству в формальной арифметике соответствует некоторое число — его геделев номер Всякое рассуждение формальной ариметики преобразуется в вычисления на множестве натуральных чисел.

Итак, вместо того чтобы производить манипуляции с символами, теоремами, доказательствами, можно воспользоваться

вычислениями на множестве целых чисел. Всякое выражение, подобное, например, следующему: доказуемо в формальной арифметике", теперь соответствует определенному числу, которое будем обозначать как

Сформулируем следующее положение.

Формальная метаарифметика содержится в множестве натуральных чисел, а оно само содержится в интерпретации формальной арифметики.

Эта ситуация с формальной арифметикой напоминает ситуацию с естественным языком: ведь нам ничто не мешает использовать его и для того, чтобы формулировать на нем основные его понятия и правила.

Надлежащий выбор функции позволяет осуществить однозначный переход от А к т. е. присвоить два разных числа-номера двум различным доказательствам. Например, можно так выбрать геделевы номера, чтобы каждому символу алфавита формальной арифметики соответствовало свое простое число, как показано, например, в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Каждая формула (состоящая из символов изменяющимся от 1 до в свою очередь кодируется последовательностью, состоящей из первых простых чисел, т. е. числом

где простое число.

В свою очередь доказательство, т. е. последовательность из формул будет закодирована аналогичным образом числом

И наоборот, благодаря такому способу построения номеров становится возможным, исходя из некоторого числа, с помощью разложения его на простые множители (в силу единственности разложения натуральных чисел в произведения степеней простых чисел) возвратиться за два шага к показателям степени т. е. к примитивным символам формальной арифметики. Конечно, это имеет в основном лишь теоретическое значение, так как номера быстро становятся слишком большими

для того, чтобы ими можно было манипулировать. Однако следует отметить, что существенным является принципиальная возможность этой операции.

Пример. Пусть задано число Т, соответствующее некоторому доказательству и представляющее собой произведение простых чисел:

Это разложение означает, что доказательство теоремы содержит два этапа: один соответствует числу 1981027125 253, а другой — числу 1981027125 211. Разлагая снова на простые множители каждое из этих чисел, получим

Из таблицы кодирования алфавита формальной арифметики (табл. 3.2) находим, что нашим геделевым номерам для Этих двух чисел

будет соответствовать следующее доказательство:

Из формулы следует формула

Таким образом, в метаарифметике получено значение исходного числа из формальной арифметики.

Второй этап. Лемма Геделя

Всякому числу Т, связанному с доказательством, соответствует теорема доказуемая в формальной арифметике. “Геделизированную” формальную арифметику называют арифметизированной формальной арифметикой. Поскольку каждая аксиома и каждое правило арифметизированной формальной арифметики соответствуют какой-нибудь арифметической операции, то с помощью систенатизированной проверки можно определить, соответствует ли данное число Т доказательству какой-то теоремы Числа Т и образуют в этом случае пару сопряженных чисел. Выражение и являются сопряженными” Представимо внутри самой арифметизированной формальной арифметики. Это означает, что существует геделев номер который выражает в цифровой форме это утверждение.

Мы подошли к критическому пункту доказательства Геделя. Пусть А является выражением арифметизированной формальной арифметики, которое содержит какую-то свободную переменную. Вместо нее можно сделать подстановку какого-нибудь терма. В частности, можно заменить выражение А самим выражением А. В этом случае номер-выражение А выполняет одновременно две различные роли (см. выше построения

Кантора и Ришара): оно одновременно является истинным выражением для подстановки и результирующим термом. Эту специальную подстановку будем обозначать как Так формула означает, что число есть геделев номер, получаемый при выполнении подстановки - к выражению А:

Затем Гедель строит выражение (о котором неизвестно, представляет ли оно собой теорему или не-теорему), в которое вводит эту подстановку. Выражение имеет следующий вид:

Третий этап. Завершающая подстановка

В арифметизированной формальной арифметике это выражение представлено в цифровой форме. Пусть Е — его геделев номер. Так как выражение содержит свободную переменную то мы имеем право выполнить подстановку - над замещая числом Е и обозначая -замещение Е:

Это второе выражение обозначим через а его геделев номер через Е. Дадим интерпретации выражения е.

Первая интерпретация. Не существует такой пары для которой одновременно выполнялось бы следующее: с одной стороны, Т — номер арифметизированного доказательства теоремы арифметизированной ею самой, а с другой — было бы есть замещение Но так как есть такое же преобразование, как и другие, то оно представимо в термах и в их кодовых обозначениях — геделевых номерах и, следовательно, такой номер существует. Тогда, возможно, номер Т не существует.

Вторая интерпретация. Не существует арифметизированного доказательства Т теоремы которое было бы -замещением Е. Итак, если не существует доказательства, то потому, что само по себе не является теоремой. Отсюда вытекает третья интерпретация.

Третья интерпретация. Выражение, для которого геделев номер есть -замещение Е, не является теоремой арифметизированной формальной арифметики. Но в этом и заключается противоречие, так как по построению именно само является -замещением Е и номер есть не что иное по построению, как сам номер Е. Отсюда вытекает последняя интерпретация е.

Четвертая интерпретация, не является теоремой

арифметизированной формальной арифметики, т. е. выражение просто утверждает, что “Я не есть теорема”.

Следовательно, возможно одно из двух:

• либо является теоремой, но тогда формальная арифметика противоречива, так как одновременно являются доказуемыми;

• либо является не-теоремой. Тогда нет противоречия, но зато то, что утверждает выражение является истинным, но недоказуемым! Следовательно, в формальной системе существует зона недостижимой истины. После доказательства того, что недоказуемо, приходим к следующей формулировке второй теоремы Геделя.

Вторая теорема Геделя (1931 г.):

Если формальная арифметика непротиворечива, она является неполной.

Рис. 3.4. Вторая теорема Геделя.

Это, в частности, для нашего случая означает, что существует по крайней мере одно выражение такое, что как так и не являются теоремами.

Как и в естественной интерпретации формальной арифметики (в которой символ П соответствует отрицанию), строго постулируется “либо есть ИСТИНА, либо есть ЛОЖЬ (т. е. есть ИСТИНА)”, т. е. постулируется непротиворечивость. Отсюда следует, что формальная арифметика не является полностью доказуемой, и в формализации существуют пробелы. Этот вывод распространяется на все те формальные системы, которые содержат аксиомы формальной арифметики. Таким образом, понятие истинности не является полностью формализуемым, и непротиворечивость какой-то теории не может быть

доказана в рамках этой теории. На рис. 3.4 эта ситуация отображена в виде схемы.

Замечание. Выше представлена только схема доказательства, которое одновременно является необычным, строгим и фундаментальным. Отметим, что если добавить к исходным аксиомам формальной арифметики аксиому или аксиому (как в других случаях, например для получения неевклидовой геометрии), то на самом деле это не сняло бы проблемы. Просто тем же способом было бы найдено выражение которое недоказуемо.