§ 10. Уравнение и функции Бесселя

29. Уравнение Бесселя.

Для того чтобы перейти к решению задачи о колебаниях круглой мембраны, мы предварительно должны познакомиться с функциями Бесселя. Функции Бесселя являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Это уравнение называется уравнением Бесселя. И само уравнение, и его решения встречаются не только в задаче о колебаниях круглой мембраны, по и в очень большом числе других задач.

Параметр k, входящий в уравнение (10.1), может, вообще говоря, принимать любые положительные значения. Решения уравнения при заданном k называются бесселевыми функциями порядка k (иногда их называют цилиндрическими функциями). Мы рассмотрим детально лишь наиболее простые случаи, когда и так как в дальнейшем изложении нам встретятся только бесселевы функции нулевого и первого порядков.

Для общего изучения бесселевых функций мы отсылаем читателя к специальным руководствам (см., например, [6|, гл. V).

Уравнение Бесселя нулевого порядка имеет вид

При коэффициент при первой производной терпит разрыв; как говорят, точка для уравнения (10.2) является особой. В этом случае мы не можем заранее сказать, существуют ли решения уравнения, принимающие определенные значения при ; теорема существования и единственности решения (см. введение) здесь неприменима.

Уравнение (10.2) не принадлежит ни к одному из типов уравнений второго порядка, допускающих решение простыми приемами; поэтому будем его решать при помощи степенных рядов. Предположим, что решение можно представить в виде ряда

Продифференцируем этот ряд дважды:

и подставим в дифференциальное уравнение (10.2);

Приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях мы и получим систему уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов .

Начнем с члена, содержащего коэффициент при нем

Условие показывает, что решение в виде ряда (10.3) может существовать только тогда, когда . Это и означает, что произвольно задавать значение первой производной при нельзя.

Выпишем теперь коэффициенты при нечетных степенях и т. д.:

Поскольку то и все последующие коэффициенты с нечетными индексами равны нулю:

Перейдем к отысканию коэффициентов с четными индексами. Последовательно выбирая слагаемые, содержащие свободный член, и т. д., составим систему уравнений

Можно написать и общую рекуррентную формулу, связывающую любые два коэффициента, индексы которых отличаются друг от друга на две единицы. Собирая члены, содержащие получим

или

Легко проверить, что все написанные выше уравнения представляют частные случаи равенства (10.6).

Оставляя коэффициент произвольным, последовательно выразим через него все остальные четные коэффициенты:

и вообще

Таким образом, найдено решение уравнения Бесселя при

(0! считается равным 1).

Покажем, что ряд (10.8) сходится при всех значениях Применяя признак Даламбера, составам отношение абсолютных величин двух последовательных членов ряда:

Это отношение при любом значении стремится к нулю при что и доказывает абсолютною сходимость ряда. Постоянная может быть выбрана произвольно. Если ее положить равной единице, то получающаяся функция

и называется функцией Бесселя первого рода порядка 0. Она является решением уравнения (10.2) при начальных условиях

Как известно, общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка представляет линейную комбинацию двух его частных решений при условии, что их отношение — не является постоянной величиной.

Одним из таких решений является функция Бесселя Второе частное решение уже не будет функцией, непрерывной при аналитическое выражение этого решения значительно более сложное, и мы его не приводим. Отметим только, что это второе решение называют функцией Бегселя второго рода (или еще функцией Неймана) и обычно обозначают через Отличительная его черта состоит в том, что при

Для функции Бесселя составлены подробные таблицы. График функции приведен на рис. 40; он похож на график затухающих колебаний. Эта функция четная, и поэтому на рисунке изображена только половина графика, соответствующая положительным значениям Функция имеет бесчисленное множество корней которые в дальнейшем исследовании будут играть важную роль. Приведем значения первых из них с двумя знаками после запятой:

Рис. 40.

Отметим, что для больших номеров разность