Глава 2. Электромеханические и электроакустические аналогии

2.1. ПРИНЦИП ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ

Существует общность математических уравнений, которыми описываются колебания в механических системах и колебания тока в электрических цепях. Эта общность ясно видна на примере уравнения напряжений, описывающего вынужденные колебания в одиночном линейном электрическом контуре, и уравнения сил для линейной механической колебательной системы с одной степенью свободы. Напомним эти уравнения:

— электрическая цепь

— механическая система

С математической точки зрения эти уравнения ничем не отличаются: коэффициенты в (2.1) (индуктивность, активное сопротивление и емкость) полностью совпадают с коэффициентами с (масса, коэффициент трения и гибкость) в (2.2). Искомая функция совпадает с а известная функция в правой части с функцией Разница только в использованных обозначениях.

Совпадение математических описаний позволяет рассматривать в ряде случаев вместо механической системы электрическую. Это удобно потому, что в электротехнике на основании законов Кирхгофа и обобщенного на случай переменного тока закона Ома развит очень простой и универсальный метод расчета линейных электрических цепей. Вводится понятие полного импеданса или комплексного сопротивления элементов цепи, и расчет сводится к алгебраическим операциям с комплексными величинами амплитуд токов и напряжений. Правила расчета сопротивлений электрических цепей переменного тока и определения токов и напряжений широко известны инженерам-электрикам и электрофизикам и легко

усваиваются другими специалистами. Так как электроакустика развивалась совместно с радиотехникой и техникой слабых токов, та естественно, что аппарат расчета цепей с помощью комплексных сопротивлений и амплитуд нашел широкое применение в электроакустике.

Принцип электромеханических аналогий состоит в следующем:

1) устанавливаются правила замены параметров механической системы элементов движения точек системы и сил — электрическими параметрами цепи переменного тока и электрическими колебательными величинами;

2) формулируются правила соединения электрических эквивалентных элементов, при соблюдении которых поведение электрических колебательных величин, токов и напряжений полностью соответствует поведению элементов движения и сил в замененной системе;

3) решается электротехническая задача с помощью метода комплексных амплитуд (или операторного исчисления), полученное решение интерпретируется как решение для исходной механической системы обратным переходом от электрических к механическим величинам.

Например, на основании ур-ний (2.1) и (2.2) напрашивается следующая система замены механических величин электрическими:

Из этого с очевидностью следуют дальнейшие аналогии:

Эта замена носит название первой системы электромеханических аналогий, получившей весьма широкое распространение. На такое соответствие между механическими и электрическими системами и возможность использования аналогий по первой системе указывал еще Рэлей. Кроме того, он ввел понятие механического сопротивления по этой системе аналогий, как это и делается теперь: механическое сопротивление — это отношение силы, действующей на механический элемент, к скорости движения этого элемента. Аналогия получается следующая:

механическое сопротивление -электрическое сопротивление

Обратим внимание на то, что сумма сил в левой части ур-ния (2.2) сопоставляется по первой системе аналогий с суммой

Рис. 2.1. Аналоговые электрические схемы механической колебательной системы с одной степенью свободы. а — по первой системе аналогий; по второй системе аналогий

напряжений в ур-нии (2.1). Механическая система при этом такова, что сила приложена в интересующей нас подвижной точке системы, и скорость этой точки — это одновременно и скорость движения массы и скорость деформации гибкого элемента и скорость относительного движения трущихся частей, обусловливающих сопротивление Электрическая система представляет собой последовательное соединение аналогов такое, что ток, текущий через них, один и тот же (рис. 2.1а). Можно, однако, в качестве аналогичной электрической цепи взять такую цепь, в которой не токи, а напряжения, действующие на ее элементы, будут одинаковы, т. е. цепь с параллельным соединением элементов (рис. 2.16). Тогда следует воспользоваться уравнением суммы токов в параллельном контуре:

Сравнивая (2.1) и (2.5), получим другую систему аналогий, предложенную в свое время Хенле и Файерстоном:

Эта система имеет некоторые преимущества при составлении электрических эквивалентных схем, однако к моменту ее появления первая система уже столь широко применялась и техника использования ее была столь развита, что практического применения вторая система не нашла.