3.11. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ

Местные уравнения преобразователя

Пьезоэффект, открытый братьями Кюри, состоит в том, что некоторые кристаллы поляризуются при сжатии и растяжении. При приложении механической нагрузки к граням кристалла изменяются расстояния между атомами кристаллической решетки и может

также изменяться и расположение зарядов — происходит сдвиг электронной решетки относительно положительно заряженных атомов. Такой сдвиг возможен не во всех кристаллах, а только при определенных видах симметрии кристалла, и только в том случае, когда он ведет к уменьшению общей энергии, запасаемой кристаллом под действием внешних сил. Теоретический анализ этого явления проводится на основании исследования структуры и энергетических состояний атомной кристаллической решетки.

Результатом сдвига зарядов в решетке является электрическая поляризация кристалла. Сумма всех электрических моментов поляризованных ячеек решетки кристалла в единице объема оказывается в широких пределах пропорциональной механическому напряжению а, действующему в кристалле. Направления поляризации и механического напряжения могут совпадать, а могут и не совпадать. Механические напряжения, вызывающие пьезоэффект, могут иметь как характер растяжения (сжатия), так и сдвига. Соотношение между абсолютными величинами можно записать так:

Электрическая индукция, или поверхностная плотность зарядов в поляризованном диэлектрике, как известно, записывается так:

где — напряженность электрического поля в диэлектрике, диэлектрическая постоянная.

Если электрическое поле отсутствует то Поэтому соотношение (3.91) можно переписать так:

Знак означает, что отношение в левой части (3.92) берется для случая отсутствия напряженности электрического поля в кристалле.

Величина носит название пьезомодуля кристалла. Обратный пьезоэффект, предсказанный Липпманом, состоит в том, что приложение электрического ноля к кристаллу вызывает его деформацию. Количественно это соотношение выглядит так:

Коэффициентом пропорциональности между напряженностью электрического поля и деформацией при отсутствии механических напряжений в кристалле является тот же пьезомодуль. Равенства (3.92) и (3.93) дают соотношение взаимности для пьезоэлектрического преобразователя в элементарной форме:

Соотношение (3.94) может быть записано с помощью плотности тока поляризации или Перемещение может

быть выражено через скорость а деформация через скорость деформации после чего (3.94) приобретает вид аналогичный виду соотношения (3.51):

Таким образом, соотношения взаимности, вытекающие из свойств пьезоэффекта, приводят к уравнениям в форме у. При этом следует сопоставлять и так что уравнения примут вид:

Теперь можно найти коэффициенты Полагая в первом из ур-ний получим

Следовательно, выражает обычное соотношение между поляризацией и напряженностью поля в диэлектрике, определяемое диэлектрической постоянной. При этом, поскольку имеем дело с пьезоэлектриком, приходится указывать, что диэлектрическая постоянная относится к кристаллу, в котором нет механических напряжений . С этой целью пишем с нижним индексом о.

Полагая во втором ур-нии (3.96) найдем

Как видно, определяется отношением деформации к механическому напряжению в отсутствие электрического поля. Для элемента объема упругого тела это его модуль упругости, так что можно написать:

Индекс у величины означает, что модуль упругости определен для случая, когда электрическое поле в кристалле отсутствует.

Теперь уравнения для пьезопреобразователя могут быть записаны так:

Очень часто при рассмотрении свойств пьезопреобразователей используют не скорости деформаций и плотности токов а сами деформации и плотности зарядов. Тогда вместо ур-ний (3.100) получатся следующие:

Такая запись несколько экономнее. Можно также записать уравнение в форме

При этом модуль упругости следует определить в отсутствие поляризации а не поля, и диэлектрическую постоянную — в отсутствие деформации а не механических напряжений. Параметр взаимности также будет другой.

Уравнения (3.101) и (3.101а) называют местными уравнениями пьезопреобразователя, так как они описывают связи между величинами электрического поля и механического напряженного состояния тела в данном месте — данной бесконечно малой области этого тела.