3.3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОБРАТИМОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ

Общая теория обратимого электромеханического преобразователя может быть построена на основании энергетических соотношений в динамической системе с многими степенями свободы. Эти соотношения определяются функцией Лагранжа, которая представляет собой разность кинетической потенциальной энергии системы. Каждая степень свободы характеризуется обобщенными скоростью и перемещением. Обобщенные перемещения в частном случае могут быть линейным отклонением от положения равновесия, углом поворота в механической системе или электрическим зарядом в электрической цепи и т. п. Кинетическая и потенциальная энергии системы будут квадратичными функциями обобщенных скоростей и перемещений

Кинетическая энергия одной изолированной степени свободы составит 1/2 а потенциальной - , где и инерциальный и позиционный коэффициенты (масса и упругость) данной степени свободы. Если система состоит из связанных между собой степеней свободы, то добавляются энергии связей: инерциальных —1/2 тгихгхк и позиционных - .

Кроме этого, можно представить себе, что среди квадратичных форм для энергии существуют и члены вида зависящие от произведения перемещения в одной степени свободы на скорость в другой. Это так называемые гироскопические члены. Они возникают при наличии вращающихся масс в механических системах или магнитных полей — в электрических.

Рис. 3.5. Иллюстрация связи: а — ущругой; б - инерциальной; в — гироскопической

Инерциальные, позиционные и гироскопические связи можно проследить на примере механических колебательных систем с маятниками. На рис. 3.5 а два маятника в виде жестких стержней с массами на концах связаны около точек качания пружиной, создающей позиционную связь. На рис. 3.56 два таких же маятника,

укрепленных на массивной опоре, которая может свободно скользить по основанию, связаны инерциальной связью.

На рис. 3.5в изображен такой же маятник, который может качаться в двух направлениях: в плоскости чертежа и перпендикулярно ей. Это тоже один из видов систем с двумя степенями свободы. Гироскопическая связь в такой системе осуществляется, если массивному шару маятника сообщить момент количества движения направленный вдоль стержня маятника. В силу закона сохранения момента количества движения, при отклонении маятника в плоскости чертежа возникнет гироскопический эффект: маятник станет двигаться также и в плоскости, перпендикулярной чертежу. Это объясняется появлением компенсирующего момента количества движения такого, что в сумме с моментом отклоненного маятника первоначально заданный вдоль вертикали момент сохраняется. Характерно, что в первых двух случаях связи осуществляются по общей линии движения, а в третьем — по взаимно перпендикулярным линиям. Сложив кинетические энергии всех степеней свободы системы, включая и энергии связи, получим полную кинетическую энергию системы и потенциальную

Из подробного рассмотрения связи между направлениями компенсирующих моментов количества движения и поворотов маятника в его двух плоскостях качания вытекает, что коэффициенты равны по абсолютной величине и противоположны по знаку - В то же время очевидно, что если инерциальные и позиционные связи отличны от нуля, то суммы коэффициентов должны быть отличны от нуля, так как в выражениях для члены вида тгкхгхк и ткгхрхг всегда встречаются в паре друг с другом. Но тогда соответствующим выбором всегда можно сделать Эти свойства симметрии коэффициентов и антисимметрии являются основными для теории преобразователя. Можно всегда перенормировать величины этих коэффициентов, чтобы не было необходимости писать множитель 1/2 перед двойными суммами. Тогда окончательно функция Лагранжа запишется так:

Если в системе имеется рассеяние энергии, то для описания ее, кроме функции следует использовать еще функцию рассеяния:

определяющую убыль полного запаса энергии системы в единицу времени. Наконец, если на систему действуют внешние силы, то для полного описания системы необходимо присоединить условие равенства внешних сил силам реакции со стороны системы. Найдя частные производные по координатам от потенциальных членов, можно найти позиционные реакции, а определив скорость изменения импульсов (т. е. частных производных инерциальных членов по скоростям с обратными знаками, — реакции ускорения. Все эти действия могут быть записаны с помощью одного дифференциального оператора

Полученная система сил реакций должна уравновешиваться внешними силами Если в системе имеется рассеяние энергии, то частично внешние силы работают против сил, обусловленных рассеянием. Эти последние находят при помощи дифференцированием по скорости В результате известные уравнения Лагранжа записываются:

Эти уравнения остаются формально правильными не только, когда введенные величины имеют размерности механических перемещений сил, масс, упругостей и коэффициентов линейного трения, но и во всех случаях, когда имеет размерность энергии, мощности, и описывают соответственно внешние воздействия и положения некоторых избранных независимых величин, характеризующих систему. Поэтому носят название «обобщенных» сил и координат соответственно.

Подставив (3.23) и (3.24) в (3.25), получим

где

Ограничиваясь случаем периодического синусоидального движения и полагая имеем: Тогда из (3.27) получим уравнений вида:

где

Коэффициенты распадаются на суммы симметричных слагаемых:

а антисимметричных:

Динамическая система может быть весьма сложной — обладать большим числом степеней свободы. Однако при рассмотрении свойств преобразователя нас, как правило, интересуют только две из всех независимых степеней свободы системы: это те, к которым прикладываются внешние воздействия или реакции других систем. Все остальные степени свободы преобразователя являются внутренними — к ним не прикладываются воздействия извне. Тогда вся система уравнений будет состоять из однородных уравнений (для которых и двух уравнений с правой частью:

Путем исключения из интересующих нас скоростей система (3.30) может быть сведена к системе двух уравнений:

Новые коэффициенты выражаются через системы (3.30). При этом можно показать, что в силу соотношений (3.29) для сохраняется аналогичное свойство:

В дальнейшем будем интересоваться только системой (3.31), поэтому для удобства записи опустим штрихи у коэффициентов этой новой системы.

Система ур-ний (3.31) содержит основные соотношения, на которых базируется теория двустороннего линейного обратимого преобразователя. Она показывает, что обобщенная сила, приложенная к одной из сторон преобразователя, линейно связана с обобщенными скоростями на обеих сторонах его. Зная коэффициенты можно определить, какие силы должны действовать на преобразователь, чтобы получить желаемые обобщенные скорости

Из системы ур-ний (3.31) следует, что не обязательно знать конкретное устройство преобразователя — его схему. Достаточно измерить коэффициенты чтобы полностью определить его поведение.

Если необходимо определить скорости по заданным силам, то систему (3.31) следует разрешить относительно

Общие правила решения линейных уравнений позволяют найти у

Из рассмотрения общих свойств динамической системы, внутри которой нет собственных источников энергии, можно получить, что всегда положительно. Соотношения (3.34) приводят к тому, что так же, как и в системе (3.31), в новой системе (3.33) соблюдается соотношение:

Системы ур-ний (3.31) и (3.33) являются основными для теории двустороннего преобразователя. Свойства перекрестных коэффициентов (3.32) и (3.36) в этих уравнениях объясняют, почему в преобразователях различных систем могут появиться коэффициенты связи симметричные и антисимметричные. Если в системе нет гироскопических связей то Если, наоборот, связь только гироскопическая, то Последний случай соответствует таким электромеханическим преобразователям, в которых связь осуществляется через магнитные поля, где силы взаимодействия направлены по нормали к движению зарядов и к магнитным силовым линиям, а первый случай преобразователям со связью через электрическое поле, где силы взаимодействия направлены по движению зарядов и по направлению поля.

Отметим, что общее выражение для коэффициентов показывает, что возможен такой преобразователь, который работает только «в одну сторону». Если, например, то Сила приложенная на «первой» стороне, вызывает скорость но не вызывает скорости «на второй», а сила вызывает как скорость на своей стороне, так и на другой — Очевидно, что можно осуществить такую систему, комбинируя электростатический и электродинамический преобразователи.

На практике всегда приходится иметь дело либо со случаем симметрии либо антисимметрии в электромеханическом преобразователе, поэтому далее будем считать, что в системе (3.31) или (3.33) только три коэффициента независимы, например

Двусторонняя механическая система условно изображена на рис. 3.6. Сама система изображается в виде «ящика», из которого выступают два стержня (I и II).

Рис. 3 6 Условное изображение двусторонней механической системы

Рис. 3.7. Электрический четырехполюсник

Стержни могут перемещаться, колеблясь вдоль себя. Внешняя сила, приложенная к стержню изображена стрелкой и скорость на этой же стороне — стрелкой Аналогичные обозначения имеются для стержня Стержни и II связаны с какой-то динамической системой внутри ящика так, что при действии, например, силы возникает движение как стержня I, так и стержня II. Таким образом, энергия колебаний со стороны может передаваться на сторону II и обратно.

Уравнения (3.31) и (3.33) на основании сказанного выше о свойствах обобщенных координат и скоростей остаются в силе и для электрической двусторонней системы. Изображение такой электрической системы представлено на рис. 3.7. Здесь роль сил и скоростей играют напряжения и токи В электронике и теории электрической связи такое устройство называется четырехполюсником.

Коэффициенты или могут быть получены из опыта. Например, освободим систему на стороне II (рис. 3.6), т. е. сделаем и приложим известную силу на стороне Тогда, измерив и на основании (3.33) получим:

Приложив теперь силу с другой стороны, найдем:

Точно так же, используя системы ур-ний (3.31), можно определить:

Условие означает, что соответствующая сторожа системы заторможена. В случае электрической системы опыты для определения коэффициентов у потребуют короткого замыкания зажимов одной стороны, а для определения коэффициентов холостого хода на одной стороне.

Рис. 3.8. Смешанная система (двусторонний преобразователь)

Наиболее интересным случаем является смешанная система, в которой одна сторона электрическая, а другая — механическая. Такая система и является двусторонним электромеханическим преобразователем. Она условно изображается так, как показано на рис. 3.8.

Приведем еще некоторые важные формы уравнений двусторонней системы:

Форма а. Предположим, что известен режим системы на стороне II, т. е., зная величины надо найти величины и Тогда уравнения системы удобно записать так:

Коэффициенты можно выразить через

По условию и тогда из (3.40) следует

Итак, форма а обладает следующим свойством: определитель, составленный из коэффициентов а, равен отрицательной единице.

Если известен режим на стороне I, т. е. задана то удобно использовать форму уравнений двусторонней системы:

Переход к форме от формы а выполняется так же, как и переход от формы к форме у:

При помощи форм можно рассчитать поведение преобразователя в различных режимах нагрузки его сторон.

Подчеркнем, что все полученные ф-лы (3.31) - (3.43) относятся к преобразователю, не имеющему внутри источников энергии, к так называемому пассивному линейному обратимому двустороннему преобразователю.