1.3.4. Однородные уравнения.

Функция  называется однородной степени , если для любых   и полняется равенство

.

Если функции и  однородные одной и той же степени , то дифференциальное уравнение

                                                   (7)

называется однородным.

Его можно преобразовать следующим образом

,

т.е.

,                                                    (8)

где  - некоторая функция от одного переменного.

Введем вместо  новую функцию  (от ) при помощи подстановки

.

Тогда

или

Следовательно,

или

где  - произвольная постоянная.

Отметим более общее уравнение, чем (8):

.                                                                               (9)

Его можно решить подстановкой

;

тогда

                       (10)

где  - произвольная постоянная.

Пример 3. .

Данное уравнение является однородным, так как функции

однородные степени . Сделаем замену . Тогда уравнение перепишется так:

или

.

Разделяя переменные, полдучаем

.

Так как у нас , то

.

Пример 4.

,                                                                         (11)

.

Это уравнение есть частный случай (9), если

.                                                                                       (12)

Уравнение (11) при  и  (условие (12) выполнено) имеет вид

,

и его решение записывается по формуле (10), где

.

Полученное уравнение есть частный случай уравнения Риккати

,

которое интегрируется в квадратурах только в исключительных случаях. Мы доказали, что при  уравнение Риккати решается в квадратурах. Отметим, что при  уравнение Риккати является уравнением с разделяющимися переменными.

Если  и  ( - целое), то подстановка

приводит уравнение Риккати к виду

Последовательно применяя эту подстановку, можно исходное уравнение свести к случаю .

Если же , то подстановка

приводит уравнение к виду

Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы сведем уравнение Риккати к случаю .

Во всех других случаях уравнение Риккати не решается в квадратурах.

Пример 5. .

Имеем

.

Это уравнение есть частный случай уравнения (9) при .