3.1.3. Нечеткие и лингвистические переменные

Понятия нечеткой и лингвистической переменных используются при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой параметров где

а - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения а),

А - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т. е. на значения нечеткой переменной а.

Лингвистическая переменная характеризуется набором параметров где

- наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

- синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества Г, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество где - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой в нечеткую переменную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Для избежания большого количества символов:

• символ используют как для названия самой переменной, так и для обозначения всех ее значений;

• один и тот же символ используется для обозначения нечеткого множества и его названия, например, терм «молодой», являющийся значением лингвистической переменной одновременно есть и нечеткое множество М («молодой»).

Присвоение нескольких значений символам предполагает возможность решения неопределенностей с помощью контекста

Пример. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «малая толщина», «средняя толщина» и «большая толщина», при зтом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной где

толщина изделия;

толщина», «средняя толщина», «большая

- процедура образования новых термов с помощью связок «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка». Например - «малая или средняя толщина», «очень малая - процедура задания на нечетких подмножеств «малая толщина», «средняя толщина», «большая толщина», а также нечетких множеств для термов из в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «или», «не», «очень», «слегка» и др. над нечеткими множествами вида:

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной «толщина» толщина», «средняя толщина», «большая возможны значения, зависящие от области определения X. В данном случае значения лингвистической переменной «толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», т. е. в виде нечетких чисел.

Терм-множество и расширенное терм-множество в условиях примера можно характеризовать функциями принадлежности, приведенными на рис. 3 5 и рис. 3 6.

Нечеткие числа

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т. е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел с функцией принадлежности , где

Рис. 3.5 Функции принадлежности нечетких множеств - «малая толщина», - «средняя толщина», - «большая толщина»

Рис. 3.6 Функция принадлежности нечеткого множества - «малая или средняя толщина»

Нечеткое число А нормально, если и выпуклое, если для любых выполняется

Множество -уровня нечеткого числа А определяется как

Подмножество с называется носителем нечеткого числа А, если.

Нечеткое число А унимодально, если условие справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если справедливо:

Нечеткое число А положительно, если и отрицательно, если

Операции над нечеткими числами

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и др.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначения V вместо вместо можно записать:

Отсюда:

Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа - это разновидность нечетких чисел специального вида, задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел задаются с помощью не возрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного удовлетворяющих свойствам: а)

Очевидно, что к классу относятся функции, графики которых имеют вид, представленный на рис. 3.7.

Примерами аналитического задания могут быть функции:

Рис. 3 7. Возможный вид -функций

Пусть - функции (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т. е. ) с помощью задается следующим образом:

где - мода; - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных нечеткое число (унимодальное) задается тройкой .

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров где - границы толерантности, т. е. в промежутке значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел приведены на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел

Отметим, что в конкретных ситуациях функции а также параметры нечетких чисел должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т. д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же а параметры результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно, если результат будет участвовать в дальнейших операциях.

Замечание. Моделирование сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных желательно выбирать функции принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с

помощью функций -типа. Примеры -представлений некоторых лингвистических переменных: приведены в

Таблица 3.1 (см. скан) Возможное -представление некоторых лингвистических переменных