3.1.2. Операции над нечеткими множествами

Логические операции

Включение

Пусть А и - нечеткие множества на универсальном множестве Е Тогда А содержится в В, если Обозначение

Иногда используют термин «доминирование», т. е. в случае когда , говорят, что В доминирует А.

Равенство

А и равны, если

Обозначение. А = В.

Дополнение

Пусть и - нечеткие множества, заданные на Е. А и дополняют друг друга, если

Обозначение. или

Очевидно, что (дополнение определено для

1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного М).

Пересечение

А Г) В - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и

Объединение

- наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и с функцией принадлежности:

Разность

с функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма

с функцией принадлежности:

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы Е. Если Е по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые логические операции над нечеткими множествами (рис. 3.3).

Рис. 3.3 Графическая интерпретация нечетких логических операций: а - нечеткое множество

Свойства операций объединения и пересечения

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

(см. скан)

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min В теории нечетких множеств рассмотрены вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «И», «ИЛИ», «НЕ».

Один из подходов к обобщению операторов пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (-нормой) называется двуместная действительная функция удовлетворяющая следующим условиям:

(см. скан)

Примеры t-норм:

Треугольной конормой (-конормой) называется двуместная действительная функция , со свойствами:

ограниченность;

если на - монотонность,

- коммутативность,

- ассоциативность.

Примеры -конорм.

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение А и обозначается и формируется следующим образом:

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется как:

Для операций справедливы следующие свойства:

Не выполняются:

При совместном использовании операций справедливы свойства:

На основе операции алгебраического произведения определена операция возведения в степень а нечеткого множества А, где - положительное число. Нечеткое множество определяется функцией принадлежности Частным случаем возведения в степень являются:

- операция концентрирования (уплотнения),

- операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями (рис. 3.4).

Рис. 3.4 Операции концентрирования (уплотнения) и растяжения

Умножение на число. Если - положительное число, такое, что то нечеткое множество имеет функцию принадлежности:

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть - нечеткие множества универсального множества Е, а неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией называется нечеткое множество А с функцией принадлежности:

Декартово (прямое) произведение нечетких множеств. Пусть - нечеткие подмножества универсальных множеств соответственно. Декартово или прямое произведение является нечетким подмножеством множества с функцией принадлежности:

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть А - нечеткое множество, Е - универсальное множество и для всех определены нечеткие множества Совокупность всех называется ядром оператора увеличения нечеткости Н. Результатом действия оператора Н на нечеткое множество А является нечеткое множество вида:

где - произведение числа на нечеткое множество.

Пример. Пусть

Тогда

Четкое множество -уровня (или уровня а). Множеством -уровня нечеткого множества А универсального множества Е называется четкое подмножество универсального множества Е, определяемое в виде:

Пример. Пусть Тогда

Свойство множества -уровня: если то