3.1. Нечеткая информация

Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в интеллектуальных компьютерных системах представляет сегодня одно из самых перспективных направлений развития современной вычислительной техники.

Значительный вклад в это направление внес Л. Заде (L. Zadeh). Его работа «Fuzzy Sets», опубликованная в 1965 г. в журнале «Information and Control», явилась толчком к развитию

новой математической теории. Заде расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале , а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Заде предложил аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений. Это позволило создать фундамент теории нечетких множеств и нечеткой логики, а также предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику.

Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое.

Математическая теория нечетких множеств позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда исследуемые процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Нечеткая логика, предоставляющая эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира, и на которой основано нечеткое управление, ближе к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы.

3.1.1. Нечеткие множества

Пусть Е - универсальное множество, х - элемент - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству определяется как множество упорядоченных пар:

где - характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства . В связи с этим нечеткое подмножество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар:

где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, ).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть - нечеткое множество, для которого

Тогда А можно представить в виде: или

Замечание. Здесь знак не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть и А - нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М.

• Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота равна 1, т. е. верхняя граница его функции принадлежности равна При нечеткое множество называется субнормальным.

• Нечеткое множество пусто, если Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле:

• Нечеткое множество унимодально, только на одном х из Е.

Рис. 3.1. Примеры функций принадлежности

• Носителем нечеткого множества А является обычное подмножество со свойством т. е. носитель

• Элементы , для которых называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

Пример 1. Пусть . Нечеткое множество «несколько» можно определить следующим образом: «несколько» его характеристики: высота носитель точки перехода -

Пример 2. Пусть Нечеткое множество «малый» можно определить:

Пример 3. Пусть и соответствует понятию «возраст», тогда нечеткое множество «молодой», может быть определено следующим образом:

Нечеткое множество «молодой» на универсальном множестве (Иванов, Петров, Сидоров, задается с помощью функции принадлежности на (возраст),

Рис. 3.2 Пример задания нечеткого множества

называемой по отношению к Е функцией совместимости, при этом

где X - возраст Сидорова

Пример 4 Пусть Жигули, Мерседес, - множество марок автомобилей, а - универсальное множество «стоимость», тогда на Е можно определить нечеткие множества типа бедных», «для среднего класса», «престижные», с функциями принадлежности вида рис 3 1

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, тем самым можно определить на Е нечеткие множества с этими же названиями

Так, например, нечеткое множество «для бедных», заданное на универсальном множестве Жигули, Мерседес, выглядит так, как показано на рис. 3.2

Аналогично можно определить Нечеткое множество «скоростные», «средние», «тихоходные» и

Пример 5 Пусть Е - множество целых чисел

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю можно определить, например, так

Методы построения функций принадлежности нечетких множеств

Существуют прямые и косвенные методы построения функций принадлежности

При использовании прямых методов эксперт просто задает для каждого значение Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т. д., или когда выделяются полярные значения

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, О или 1 Для конкретного объекта эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает , формируя векторную функцию принадлежности

Разновидностью прямых методов построения функций принадлежности являются прямые групповые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретный объект, и каждый должен дать один из двух ответов принадлежит или нет этот объект к заданному множеству Тогда число утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение функции принадлежности объекта к данному нечеткому множеству

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет измеримых элементарных свойств, через которые определяется нечеткое множество Как правило, это методы попарных сравнений Если бы значения функций принадлежности были известны, например, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений где (операция деления)

На практике эксперт сам формирует матрицу А, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно главной диагонали, если один элемент оценивается в а раз значимее чем другой, то этот последний должен быть в раз значимее, чем первый В общем случае задача сводится к поиску вектора удовлетворяющего уравнению вида где - наибольшее собственное значение матрицы А Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным

Использование типовых форм кривых для задания функций принадлежности (в форме - см ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента

Использование относительных частот по данным эксперимента в качестве значений принадлежности