3.1.4. Нечеткие отношения

Пусть - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например, Нечеткое п-арное отношение определяется как нечеткое подмножество на Е, принимающее свои значения в М. В случае нечетким отношением между множествами будет называться функция , которая ставит в соответствие каждой паре элементов величину

Обозначение: нечеткое отношение на записывается в виде: . В случае, когда т. е. X и Y совпадают, нечеткое отношение называется нечетким отношением на множестве X.

Пример 1. Пусть Нечеткое отношение может быть задано, например, табл. 3.2.

Таблица 3 2. Задание нечеткого отношения

Пример 2. Пусть т. е. множество всех действительных чисел. Отношение можно задать функцией принадлежности

Пример 3. Отношение для которого при достаточно больших к можно интерпретировать так: и у близкие друг к другу числа».

Операции над нечеткими отношениями

Объединение

Объединение двух отношений обозначается и определяется выражением:

Пересечение

Пересечение двух отношений обозначается и определяется выражением:

Алгебраическое произведение

Алгебраическое произведение двух отношений и обозначается и определяется выражением:

Алгебраическая сумма

Алгебраическая сумма двух отношений и обозначается и определяется выражением:

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

Дополнение отношения

Дополнение отношения обозначается и определяется функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма

Дизъюнктивная сумма двух отношений и обозначается и определяется выражением:

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому

Пусть - нечеткое отношение с функцией принадлежности Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается и определяется выражением:

По договоренности принимают при Композиция (свертка)

Пусть - нечеткое отношение между X и Y, и - нечеткое отношение между Нечеткое отношение между X и обозначаемое определенное через выражением:

называется отношений и

Пример. Пусть

Тогда

При этом

Замечание В этом примере сначала использован «аналитический» способ композиции отношений и строка «умножается» на столбец с использованием операции затем полученный результат «свертывается» с использованием операции в

Свойства max-min композиции Операция -композиции ассоциативна, т. е.

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения

Кроме того, для -композиции выполняется следующее важное свойство если то

-композиция

В выражении для -композиции отношений операцию можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения что и для ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу . Тогда

В частности, операция может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о -композиции