§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей когда точка приближается вдоль кривой к точке М (рис. 196).

2. Используя это определение, найдем угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке. Пусть через точку кривой, представляющей собой график функции непрерывной в некоторой окрестности этой точки (включающей точку М), проведена секущая образующая с положительным направлением оси угол а (рис. 197). Тогда из треугольника можно найти угловой коэффициент этой секущей: При стремлении точки по кривой к точке М секущая поворачивается вокруг точки М, причем угол а стремится к углу между касательной и положительным направлением оси В соответствии с определением касательной получаем:

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания. В этом заключается геометрический смысл производной.

3. Уравнение касательной к кривой в заданной точке имеет вид:

где — координаты точки касания, — текущие координаты, т. е. координаты любой точки, принадлежащей касательной, а — угловой коэффициент касательной.

Рис. 196

Рис. 197

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Решение. Из уравнения кривой найдем ординату точки касания: Затем найдем производную и вычислим ее значение в точке имеем Теперь, зная точку (3; 3) на кривой и угловой коэффициент касательной в этой точке, получаем искомое уравнение: или

2. Дана кривая Найти точку ее графика, в которой касательная параллельна прямой

Решение. Так как касательная параллельна прямой то их угловые коэффициенты равны, т. е. Следовательно, Итак, — искомая точка.

3. На параболе найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой

Решение. Определим угловой коэффициент касательной к параболе

Найдем угловой коэффициент прямой

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны откуда абсцисса точки касания

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы (рис. 198).

4. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует с осью угол 45°.

Решение. Найдем тангенс угла наклона касательной, проведенной в искомой точке, к оси Угол а по условию равен 45°, следовательно, или откуда

Определим ординату искомой точки: искомая точка

5. В какой точке кривой касательная наклонена к оси абсцисс под углом

Решение. Находим Так как по условию т. е. . Остается найти ординату точки касания: . Итак, искомая точка

6. Найти угол между прямой и параболой

Решение. Углом между прямой и кривой называется угол между этой прямой и касательной к кривой в точке их пересечения. Очевидно, что искомый угол Найдем Так как то Следовательно,

7. Найти, под каким углом ось пересекает параболу

Решение. Найдем точки пересечения параболы с осью Для этого нам следует решить систему уравнений Корни этой системы: Таким образом, парабола пересекает в точках (рис. 200).

Найдем теперь угловые коэффициенты касательных к параболе в точках :

Теперь вычислим углы образованные касательными в точках пересечения параболы с осью .

Рис. 198

Рис. 199

Рис. 200

8. Составить уравнение касательной к графику в точке с абсциссой

Решение. Уравнение касательной к кривой точке имеет вид Подставив в это уравнение значения получим или

Аналогично, подставляя в уравнение касательной соответствующие значения для точки получим

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)