§ 39. Момент инерции

Из определения (см. (38.6))

видно, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумма моментов инерции его частей.

Понятие момента инерции было введено нами при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что эта величина существует безотносительно к вращению. Каждое, тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерций относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью величины, называемой плотностью. Если тело однородно, т.е. свойства его во всех точках однинаковы, то плотностью называется, величина равная

где — масса тела, - его объем. Таким образом, в случае однородного тела плотность представляет собой единицу обьема тела.

Для тела с неравномерно распределенной массой выражение (39.1) дает среднюю плотность. Плотность в данной точке определяется в этом случае следующим образом:

В этом выражении — масса, заключенная в объеме , который при предельном переходе стягивается к той точке, в которой определяется плотность.

Предельный переход в (39.2) нельзя понимать так, что стягивается буквально в точку. При таком понимании для двух практически совпадающих точек, одна из которых приходится на ядро атома, а другая — на промежуток между здрами, получался бы сильно отличающийся результат (для первой точки огромная величина, а для второй — нуль). Поэтому уменьшение ДУ следует производить до тех пор, пока не будет получен физически бесконечно малый объем, под которым понимают такой объем, который, с одной стороны, достаточно мал для того чтобы макроскопические (т. е. присущие большой совокупности атомов) свойству в пределах его можно было считать одинаковыми, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность (прерывность) вещества.

Согласно (39,2) элементарная масса равна произведению плотности тела в данной точке на соответствующий элементарный объем

Следовательно, момент инерции можно представить в виде

Если плотность тела постоянна, ее можно вывести за знак суммы:

Соотношения (39.3) и (39.4) являются приближенными причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы и соответствующие им элементарные массы Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:

Интегралы в (39.5) берется по всему объему тела. Величины и R в этих интегралах являются функциями точки, т. е., например, декартовых координат х, у и z.

В качестве примера найдём момент инерции однородного диска относительно оси, рерпендикулярной к плоскости диска g проходящей через его центр (рис. 39.1). Разобьем диск на кольцевые слои толщиной Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном R. Объем такого слоя равен

где - толщина диска.

Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и в (39.5) можно вынести за знак интеграла:

где — радиус диска. Вынесем за знак интеграла постоянный множитель

Наконец, введ массу диска равную произведею плотности на объем диска получим:

Нахождение момента инерции в рассмотренном примере значительно упрощалось вследствие того, что тело было однородным и симметричным, а момент инерций мы искали относительно оси симметрии.

рис. 39.1.

Рис. 39.2.

Если бы мы захотели, найти момент инерции диска относительно, например, оси , перпендикулярной к диску и проходящей через его край {см. рис. 39.1), вычисления очевидно, оказались бы гораздо более сложными. В подобных случаях нахождение момента инерции значительно облегчается, если воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом, момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния а между осями:

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции диска относительно оси равен найденному нами моменту инерции (38.6) относительно оси, проходящей через центр диска, плюс (расстояние мокду осями и равно радиусу диска

Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление моданта инерции отнректельно произвольнейшей к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Для доказательства теоремы Штейнера рассмотрим ось С, проходящую через центр масс тела, и параллельную ей ось О, отстоящую от оси С на расстояние а (рис. 39.2; обе оси перпендикулярны к плоскости чертежа). Обозначим через перпендикулярный к оси С вектор, проведенный от оси к элементарной массе а через — аналогичный вектор, проведенный от оси О. Введем также перпендикулярный к осям вектор а, соединяющий соответствующие точки осей О и С. Для любой противолежащих точек этот вектор имеет одинаковую величину (равную расстоянию а между осями) Между перечисленными векторами имеется соотношение

Квадрат, расстояния элементарной массы от оси С равен , а от оси О

С учетом последнего соотношения момент инерции тела относительно оси О можно представить в виде

(постоянные множители мы вынесли за знак суммы). Последний член в этом выражении, есть момент инерции тела относительно оси Обозначим его Сумма элементарных масс дает массу тела . Сумма равна произведению массы тела на вектор проведенный от оси С к центру масс тела. Поскольку центр инерции лежит на оси С, этот вектор а следовательно и второй член в (39.5) равны нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что

а это и требовалось доказать (см. (39.7)).

В заключение привезем значения моментов инерции для некоторых тел (тела предполагаются однородными, m — масса тела).

1. Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сечением любой формы. максимальный поперечный размер стержня b во много раз меньше длины стержня

Момент инерции относительно оси перпендикулярной к стержню к проходящей через его середину (рис. 39.3), равен

2. Для диска или цилиндра при любом отношении R к (рис. 39.4) момент инерции относительно, оси, совпадающей с геометрической осью цилиндра, равен

3. Тело — тонкий диск. Толщина диска во много раз меньше радиуса диска

Рис. 39.3.

Рис. 39.4.

Рис. 39.5.

Момент инерции относительно оси, совпадающей с диаметром диска (рис. 39.5), равен

4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через центр равен