§ 4. Эллипсоиды и гиперболоиды

Эллипсоидом (вещественным) называется поверхность, имеющая В некоторой («канонической» для нее) прямоугольной системе координат («каноническое») уравнение

Положительные числа с называются полуосями эллипсоида (1).

Эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда

Другими словами, эллипсоиды суть ограниченные поверхности. Все плоские сечения эллипсоида являются поэтому ограниченными кривыми второго порядка, т. е. эллипсами.

Общий вид эллипсоида изображен на рис. 205.

Рис. 205.

Предположим, что (переименовав, если нужно, оси координат, мы всегда можем достигнуть этого).

Если , то сечения эллипсоида плоскостями суть окружности

(радиуса вещественного лишь при ), а сам эллипсоид получается вращением эллипса вокруг оси .

Рис. 206.

Рис. 207.

Так как то вращение эллипса происходит вокруг его второй оси (рис. 206), и полученный при этом эллипсоид естественно назвать сжатым эллипсоидом вращения (он имеет форму поверхности мандаврина). Если же то сечения эллипсоида плоскостями суть окружности

Радиусы этих окружностей равны (они вещественны лишь при ); эллипсоид получается от вращения эллипса - (или эллипса вокруг оси т. е. вокруг его фокальной оси. Полученная поверхность называется вытянутым эллипсоидом вращения (рис. 207); она похожа на поверхность лимона.

Наконец, при эллипсоид (1) является сферой (шаровой поверхностью радиуса а) (рис. 208).

Поверхность, задаваемая в какой-нибудь прямоугольной системе координат уравнением

называется мнимым эллипсоидом.

Рис. 208.

Рис. 209.

Рис. 210.

Мнимый эллипсоид не имеет ни одной вещественной точки.

Однополостным, соответственно двуполостным, гиперболоидом. называется поверхность, имеющая в некоторой прямоугольной системе координат уравнение

соответственно

Прямоугольная система координат, в которой данный гиперболоид имеет уравнение вида (2), соответственно (3), называется канонической для этого гиперболоида, а сами уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями гиперболоидов. Положительные числа а, b, с называются полуосями гиперболоидов (2) и (3). Конус определяется как общий асимптотический конус обоих гиперболоидов (2) и (3) (рис. 211).

Из уравнений (2) и (3) видно, что начало канонической для данного гиперболоида системы координат является его центром симметрии, координатные плоскости прямоугольной канонической системы — его плоскостями симметрии, а оси координат этой системы — осями симметрии. Всякий гиперболоид имеет три плоскости симметрии.

Если то гиперболоид называется правильным. Предположим, что тогда правильный однополостный гиперболоид имеет уравнение

а правильный двуполостный — уравнение

Рис. 211.

Плоскость (плоскость чертежа) пересекает правильный однополостный гиперболоид (2) но равнобочной гиперболе

а плоскость по равнобочной гиперболе

Гиперболы (4) и (4) конгруэнтны между собою: одна из них переходит в другую при вращении пространства на прямой угол вокруг ОСИ

Плоскости

параллельные плоскости пересекают гиперболоид (2) по окружностям

радиуса Из всего сказанного ясно, что вся поверхность (2) есть поверхность, получаемая от вращения гиперболы (4) (или ) вокруг оси z (т. е. вокруг второй оси гиперболы).

Рис. 212.

Общий вид правильного однополостного гиперболоида показан на рис. 212.

Переходим к правильному двуполостному гииерболоиду. определен (в прямоугольной системе координат) уравнением

Его сечения плоскостями и суть соответственно (конгруэнтные) равнобочные гиперболы

и

имеющие ось z своею фокальной осью; гиперболы переходят друг в друга вращением на прямой угол вокруг оси .

Плоскость параллельная плоскости пересекает поверхность (3) по окружности

вещественной при и мнимой при в соответствии с чем на плоскости при вещественных точек нашей поверхности нет.

Вся поверхность (3) описывается гиперболой (5) при вращении ее вокруг оси

Поверхность состоит из двух простирающихся в бесконечность «чаш» (или ), описываемых каждой из ветвей гиперболы (5) (рис. 213).

Рис. 213.

Вернемся к общему случаю любых гиперболоидов.

Плоскость z — h пересекает однополостный гиперболоид (2) по кривой

Полагая видим, что кривая (6) есть эллипс

Все эти эллипсы подобны между собою: и полуосей одно и то же, их эксцентриситеты равны эксцентриситету эллипса

являющегося пересечением однополостного гиперболоида (2) с плоскостью этот эллипс называется горловым эллипсом данного однополостного гиперболоида. При эти сечения являются окружностями, а гиперболоид (2) делается однополостным гиперболоидом вращения — он получается при вращении гиперболы (или гиперболы вокруг оси являющейся второй осью каждой из этих гипербол.

Сечения однополостного гиперболоида (2) плоскостями суть кривые .

Полагая при и при видим, что эти кривые суть соответственно гиперболы (рис. 214)

Аналогично доказываем, что сечения однополостного гиперболоида (2) плоскостями суть гиперболы

при

при

Сечение одиополостного гиперболоида (2) каждой из плоскостей есть пара прямых

Точно так же сечеиие однополостпого гиперболоида (2) каждой из плоскостей есть пара прямых

Мы увидим в § 6, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит пара вещественных прямых — «прямолинейных образующих» гиперболоида.

Замечание. Возьмем какую-нибудь плоскость

не параллельную оси z, и найдем ее пересечение К с одиополостным гиперболоидом (2). Подставляя (7) в (2), получим

уравнение проекции линии пересечения К на плоскость .

Рис. 214.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов можем переписать уравнение (8) в виде

где

Придавая надлежащие значения коэффициентам , можно достигнуть того, чтобы детерминант обратился в нуль, а также чтобы он был положительным или отрицательным. В соответствии с этим уравнение (8) определит в плоскости кривую любого заданного типа (эллиптического, гиперболического, параболического); при этом можно потребовать, чтобы было т. е. чтобы кривая не распадалась. Но кривая есть проекция (вдоль оси z) кривой К, а при параллельном проектировании аффинный класс кривой второго порядка не меняется (читатель легко докажет это геометрически).

Итак, выбрав надлежащим образом плоскость, не параллельную оси z, можно получить в качестве кривой пересечения К этой плоскости с однополостным гиперболоидом (2) невырождающуюся кривую второго порядка любого типа (эллипс, гиперболу, параболу). Мы видели, что пересечением однополостного гиперболоида может быть пара пересекающихся прямых; мы увидим в § 6, что может получиться и пара параллельных прямых.

Заметим, что в наших рассуждениях ничего не изменилось бы, если бы о правой части уравнения (8) мы заменили 1 на 0; итак, плоскость (7) пересекает однополостный гиперболоид и его асимптотический конус — по кривым одного и того же типа.

Читателю предоставляется доказать, что всякая плоскость, параллельная оси пересекает однополостный гиперболоид (2) по линии гиперболического типа (т. е. по гиперболе или по паре пересекающихся прямых). Для плоскостей, параллельных координатным плоскостям или это уже было доказано.

Рассмотрим теперь пересечения двуполостного гиперболоида

с плоскостями, параллельными координатным.

при пересекает поверхность (3) по мнимым эллипсам, при — по вещественным. Если то эти эллипсы являются окружностями, а гиперболоид (3) есть гиперболоид вращения: он получается при вращении гиперболы — (или ) вокруг оси z (являющейся фокальной осью каждой из этих гипербол).

При получаем пару мнимых сопряженных прямых с одной вещественной точкой , соответственно .

Плоскости пересекают гиперболоид (3) по гиперболам (рис. 215) (плоскости исключения не представляют).

Рис. 215.

Мы определили асимптотический конус для обоих гиперболоидов (2) и (3) как конус

Сравним сечения плоскости с каждым из гиперболоидов (2), (3) и с конусом (9). При этом предполагаем

Получаем эллипсы, полуоси которых суть

соответственно

и, наконец,

Мы видим, что

Это значит, что в каждой плоскости эллипс, являющийся сечением этой плоскости с конусом (9), лежит между эллипсами, являющимися сечениями той же плоскости с гиперболоидами (2) и (3): общий асимптотический конус обоих гиперболоидов расположен «между» обоими этими гиперболоидами, как показывает рис. 216.

Рис. 216.

Далее, имеем

Преобразуя скобку справа, получим

т. е. выражение, стремящееся к нулю при Итак, при имеем и (аналогично) и подавно — три эллипса, сечения плоскости с гиперболоидами (2), (3) и их асимптотическим конусом (9), имея общие направления осей и общий центр, неограниченно сближаются (так что при достаточно большом все три эллипса лежат в сколь угодно тесной окрестности любого, например среднего, из них).

Можно сказать, что при оба гиперболоида (2) и (3) неограниченно сближаются со своим общим асимптотическим конусом.

Определение. Прямая, всеми своими точками лежащая на данной поверхности, называется прямолинейной образующей этой поверхности.

Мы знаем, что прямолинейные образующие имеются и у цилиндрических, и у конических поверхностей; в § 6 этой главы будет показано, что они имеются и у однополостного гиперболоида.

Докажем, что у двуполостного гиперболоида вещественных прямолинейных образующих нет.

В самом деле, предположим, что вещественная прямая d является прямолинейной образующей гиперболоида (3). Прямая d не может пересекаться с плоскостью (или лежать в ней), так как плоскость не содержит ни одной вещественной точки гиперболоида (3). Но прямая d не может быть и параллельной плоскости потому что в этом случае она содержалась бы в пересечении гиперболоида (3) с некоторой плоскостью , что невозможно, так как это пересечение есть эллипс (вещественный или мнимый) и значит, не содержит никакой прямой. Утверждение доказано.

Мы видели, что начало канонической для данной поверхности системы координат является ее центром симметрии (единственным, как мы докажем в главе XIX). Поэтому эллипсоиды и гиперболоиды получат в главе XIX общее название центральных невырожденных поверхностей второго порядка (класс вырожденных центральных поверхностей составят конусы второго порядка).