§ 42. Кинетическая энергия тела при плоском движении

Плоское движение тела может быть представлен как выполнение двух движений — поступательного с некоторой скоростью v и вращения вокруг соответствующей оси с угловой скоростью (см. § 36). Согласно формуле (36.1) скорость элементарной массы тела равна

где — скорость некоторой точки О тела, — радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке О.

Кинетическая энергия i-ой элементарной массы равна:

Осуществив, возведение в квадрат, получим:

Векторное произведение на , имеет модуль равный где расстояние массы от от оси вращения (см. рис. 5.5. и текст предшествующий формуле (5.8)). Следовательно, третье слагаемое в фигурных скобках равно . Во втором слагаемом осуществим циклическую перестановку сомножителей (см. (2.34)). В результате придем к выражению

Чтобы получать ккнетическую энергию тела, просуммируем выражение (42.1) по всем элементарным массам, причем вынесем постоянные множители за знаки сумм:

Сумма элементарных масс есть масса тела т. Выражение равно произведению массы тела на радиус-вектор центра масс тела, Наконец, есть момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку О. Поэтому можно написать, что

Если в качестве точки О взять центр масс тела С, радиус-вектор будет равен нулю так что второе слагаемое исчеэает. Следовательно, обозначив через у скорость центра масс, а через — момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через точку С, получим для кинетической энергии тела формулу

Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.