14.2.4. Факторный анализ в задачах классификации.

Выше уже была отмечена близость моделей главных компонент и факторного анализа. Поэтому замечания, сформулированные в гл. 13, относящиеся к общим идеям использования главных компонент в задачах классификации и к так называемому дуализму в постановке задачи, в полной мере относятся и к модели факторного анализа.

Будет полезно пояснить это на конкретном примере с использованием специфики и терминологии именно факторного анализа.

В табл. 14.1 приведены коэффициенты корреляции между отметками по шести школьным предметам, подсчитанные по выборке из 220 учащихся [96].

В последних двух столбцах таблицы даны факторные нагрузки на исследуемые признаки в бифакторной модели подсчитанные по приведенной здесь корреляционной матрице с помощью центроидного метода. Простой анализ величин и знаков этих нагрузок склоняет нас к тому, чтобы интерпретировать первый фактор как фактор общей одаренности, а второй фактор — как фактор гуманитарной одаренности.

В прямой постановке задачи классификации (т. е. при классификации обследованных учащихся) исследователь должен был бы в первую очередь определить, как эти два общие фактора выражаются через исходные признаки затем подсчитать значения этих двух факторов для каждого из обследованных учеников и, наконец, нанести 220 точек на плоскость

Таблица 14.1

Расположение «точек-учеников» на плоскости позволило бы исследователю получить ряд вспомогательных сведений, полезных при формулировке окончательных выводов (наличие четко выраженных «сгущений точек» — классов, их число, их интерпретация и т. п.). Кстати, метод Г. Томсона (14.13) дает в качестве оценки общих факторов выражения:

При обратной (двойственной) постановке задачи, т. е. при классификации исследуемых признаков оказывается полезной следующая геометрическая интерпретация общих факторов и исходных признаков. Рассмотрим рис. 14.1, на котором осями координат являются общие факторы а координаты точек определяются нагрузками исходного признака на общие факторы Соответственно точку удобно интерпретировать как изображение исходного признака Расположение «точек-учеников»

Расположение «точек-учеников» вует о естественном распадении совокупности исходных признаков на две группы: группу гуманитарных признаков и группу математических признаков

Рис. 14 1. Изображение исходных признаков в плоскости двух общих факторов

Подобная геометрическая интерпретация помогает выбрать вращение системы общих факторов, наиболее подходящее в отношении возможности их содержательной интерпретации. Дело в том, что, как уже отмечали, параметры модели факторного анализа, в том числе и сами общие факторы определяются не однозначно, а лишь с точностью до некоторого ортогонального преобразования, т. е. с точностью до вращения осей в пространстве. При этом выбор окончательного решения, т. е. закрепление системы в определенном положении, находится в распоряжении исследователя. Другими словами, исследователь должен решить вопрос: как, располагая некоторым частным решением полученным, например, с помощью центроидного метода, выбрать такое ортогональное преобразование, такой поворот осей при котором получаемые при этом новые общие факторы допускают наиболее естественную и убедительную содержательную интерпретацию. Рассматривая расположение исходных признаков в плоскости или в пространстве, натянутом на первые три общих фактора, естественно повернуть координатную систему таким образом, чтобы координатные оси прошли через наиболее четко выраженные сгущения точек-признаков (см. поворот, намеченный пунктирными осями на рис. 14.1).

При этом иногда бывает полезно отказаться от ортогональности общих факторов, переходя к косоугольной системе координат.