19.8. Восстановление плотности и связь с томографией

19.8.1. Оценка плотности методом целенаправленного проецирования.

Пусть имеется выборка -мерных наблюдений объема . Опишем итерационную процедуру получения оценки плотности в виде . Здесь — начальная плотность, которая задается вместе с некоторой -мерной выборкой из нее, . На шаге процедуры строится оценка в виде плотности

(19.49)

вместе с выборкой , из нее.

Поправочная функция и направление в выбираются так, чтобы они минимизировали значение функционала относительной энтропии

в классе всех плотностей вида . Имеем

Далее, из условия следует, что .

Положим .

Таким образом, являются решением задачи: найти

(19.50)

при условии

При каждом фиксированном 0 задача (19.50) будет стандартной вариационной задачей, решением которой являет функция

(19.51)

Таким образом, , где в решение следующей задачи целенаправленного проецирования: найти

(19.52)

Наряду с выборкой но предположению индукции, имеется выборка .

Опишем, как при помощи этих выборок получить оценку шачения функционала каждого .

Фиксируем некоторый алгоритм оценки плотности одномерной случайной величины по выборке Например,

Тогда можно положить

В (19.53) остается свободным параметр рекомендуется h выбирать зависящим от у так, чтобы условию удовлетворяло ровно точек где , например, 0,1; 0,05 и т.д. Тогда (19.53) примет вид:

(19.54)

В качестве оценки функционала ) можно взять функционал

Решив теперь задачу:

Найти

(19.55)

Получаем оценку для и, следовательно, Для завершения шага осталось построить выборку из распределения . Воспользуемся следующим общим фактом [231], [258].

Пусть — плотности распределения -мерных случайных векторов; — выборка из распределения . Тогда если ограниченная функция, то следующий алгоритм просеивания позволяет получить из выборки X выборку X из распределения .

Положим . Пусть — выборка из равномерного распределения на интервале [0, 1]. Тогда наблюдение включается в X, если и выбрасывается из рассмотрения в противном случае.

Из (19.49) и (19.51) теперь получаем:

Взяв согласно (19.54) в качестве оценки функции функцию

при помощи описанного выше алгоритма просеиваем выборку из распределения и получаем выборку из распределения .

Таким образом, шаг процедуры описан. В качестве начальной плотности , если нет дополнительной информации, обычно берется -мерное нормальное распределение где — оценки по выборке среднего значения и ковариационной матрицы.