Глава 15. ЭКСПЕРТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЕДИНОГО СВОДНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ (КАЧЕСТВА) ОБЪЕКТА (СКАЛЯРНАЯ РЕДУКЦИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ СХЕМЫ)

И в профессиональной деятельности, и в своей повседневной жизни человек постоянно сталкивается с ситуациями, когда ему приходится сравнивать межд) собой и упорядочивать по некоторому не поддающемуся непосредственному измерению свойству ряд объектов. Речь может идти, в частности, о сравнении стран по прогрессивности их макроструктуры потребления, предприятий отрасли по эффективности их деятельности, сложных изделий (например, определенного программного средства) по обобщенной характеристике качества. специалистов по эффективности их участия в выполнении поставленной задачи, участников игровых видов спорта по уровню проявленного ими (в определенном состязании) мастерства и т. д. Формализации подобных ситуаций и вытекающим из нее рекомендациям по построению некоторого условного измерителя упомянутого свойства объекта и посвящена данная глава.

15.1. Латентный единый (сводный) показатель «качества». Понятия «выходного качества» целевой функции и «входных переменных» (частных критериев)

Пусть обобщенная сводная характеристика анализируемого свойства объекта определяется набором частных критериев, задаваемых поддающимися учету и измерению переменными (в дальнейшем будем называть их «входными»), однако сама эта характеристика является латентной, т. е. не поддается непосредственному количественному измерению (для нее не существует объективно обусловленной шкалы). Естественно предположить, что интуитивное экспертное (профессиональное) восприятие этой характеристики (обозначим его у) можно представить как несколько искаженное значение причем это искажение б носит случайный характер и обусловлено как разрешающей способностью такого «измерительного прибора», каковым в данной схеме является эксперт, так и существованием ряда слабо влияющих на у, но не входящих в состав «входных переменных».

Тогда модель, связывающая между собой интуитивное представление о сводном показателе качества (у), сам сводный показатель как функцию от и случайную погрешность , может быть определена в виде

Практически, не ограничивая общности данной схемы, можно принять естественные допущения относительно первых двух моментов остаточной случайной компоненты :

Тогда, очевидно, обобщенная (сводная) характеристика может интерпретироваться как регрессия у по X, и если бы в качестве исходной статистической информации располагали бы наряду со значениями и результатами регистрации соответствующих значений зависимой переменной (-номер наблюдения), то данная схема непосредственно сводилась бы к обычной модели регрессии (см. [12, гл. 5]). Специфика модели (15.1), (15.1) состоит в том, что вместо прямых измерений у можно получить (с помощью экспертов) лишь некоторые специального вида сведения о его значениях, чаще всего сравнительного плана (типа ранжировок или парных сравнений обследованных объектов по свойству у). Это обусловливает и более скромные претензии в отношении целей статистического анализа модели (15.1), вместо требуемого в регрессионном анализе восстановления (оценивания) функции ставится задача оценивания с точностью до произвольного монотонного преобразования.

Определение. Целевой функцией исследуемого обобщенного свойства («выходного качества») называется любое преобразование вида , сохраняющее заданное соотношение порядка между анализируемыми объектами ; по усредненным значениям выходного качества, т. е. обладающее тем свойством, что из с необходимостью следует выполнение неравенств и, наоборот, из последней серии неравенств вытекает выполнение соответствующих неравенств для . Очевидно, данное здесь определение целевой функции неоднозначно. Действительно, если есть целевая функция и — любая взаимно-однозначная монотонно возрастающая функция, то всякая функция вида также будет целевой функцией.

Это означает, что допущение о наличии определенной шкалы в измерении единого сводного показателя играет во многих случаях чисто вспомогательную роль и нацеливает на поиск, связанный с выявлением этой шкалы лишь с точностью до произвольного допустимого преобразования шкал. Ведь в соответствии с данным определением само значение целевой функции не отражает никакой реальной, физически содержательной количественной закономерности. Реальные закономерности отражаются только соотношениями «больше» или «меньше» между значениями этой функции для различных наборов величин входных параметров , . Тем самым эти соотношения отражают предпочтение с точки зрения анализируемого выходного качества одних значений X перед другими. Поэтому в задачах, в которых возможно регулирование значений X (в некоторой допустимой области), наиболее рациональным управлением естественно признать то, которое максимизирует, при заданных ограничениях на X, значения целевой функции.

Данное определение целевой функции допускает ее содержательную (экономическую, социально-экономическую, квалиметрическую, психологическую и т.д.) интерпретацию. Помимо приведенных ниже примеров оно может быть использовано при построении и анализе различных глобальных и частных целевых функций благосостояния и потребления (о которых речь идет, например, в [52, 99, 188, 247], в других задачах аналогичного профиля.

Итак, функция , с помощью которой можно было бы производить сравнительную оценку анализируемого «выходного качества» на рассматриваемых объектах, определена лишь с точностью до произвольного монотонного преобразования. Тем не менее для построения алгоритма ее восстановления было бы удобно параметризовать модель (15.1), т. е. определить параметрическое семейство в рамках которого будет производиться поиск целевой функции . Выбор этого параметрического семейства, как правило, не удается подкрепить исчерпывающим теоретическим обоснованием, а потому с этого момента исследователь имеет дело не с целевой функцией , а с некоторой ее аппроксимацией . Это не должно смущать. Оперирование с аппроксимацией избавляет от необходимости постулирования существования самой целевой функции (что в ряде ситуаций является весьма спорным моментом): в то время как сама целевая функция как объективно существующая универсальная скалярная характеристика выходного качества может и не существовать, ее аппроксимация имеет определенный условный смысл и может плодотворно использоваться как некая вспомогательная характеристика в ограниченном интервале времени и при некоторых заранее оговоренных условиях.

Имея в виду достаточную однородность обследуемых объектов по всем неучтенным переменным, т. е. по переменным, не вошедшим в состав и ограниченность интервала времени, в течение которого будем использовать искомую аппроксимацию целевой функции, а также реализуя идею разложения любой функции в ряд Тейлора, ограничимся в дальнейшем изложении аппроксимациями линейного и квадратичного вида, т. е.

и

Коэффициенты и оцениваются статистически (см. § 15.3) по исходным данным, структура и происхождение которых описываются в следующем параграфе.