1.2.2. Изменение порога критерия.

Часто в приложениях возникает необходимость описать качество классификации, достигаемое с помощью заданной функции у (X) при различных значениях с. Для этой цели достаточно привести одно число — частоту случаев и одну кривую — график «чувствительность — специфичность».

Предположим теперь дополнительно, что имеет место классическая модель Фишера (см. п. 1.1.2), в качестве используется логарифм отношения правдоподобия.

В этом случае является линейной функцией X и, следовательно, для случаев и не случаев имеет нормальное распределение с одной и той же дисперсией. Обозначим ее и пусть

Рис. 1.3. Кривые «чувствительность — специфичность» для различных значений d (модель Фишера)

Тогда кривая «чувствительность — специфичность» (рис. 1.3) в параметрической форме имеет вид

где — функция распределения стандартизованной нормальной величины.

Если изменить масштабы по оси абсцисс и ординат по формулам , где — функция, обратная к Ф, то кривая (1.38) перейдет в прямую

В самом деле,

Существует специальная бумага, называемая двойной нормальной, на которой описанное выше преобразование выполнено. Кривые на ней распрямляются (рис. 1.4). Когда распределения для случаев и не случаев по-прежнему нормальны, но имеют разные стандартные отклонения, кривая «чувствительность — специфичность» на двойной нормальной бумаге будет опять прямой, причем если — угол ее наклона к оси абсцисс, то отношение стандартного отклонения случаев к стандартному отклонению не случаев равно

Опыт показывает, что кривые «чувствительность — специфичность», построенные по реальным данным, при нанесении их на двойную нормальную бумагу часто распрямляются хотя бы в своей центральной части. Это дает возможность в интересующем исследователя диапазоне чувствительности (специфичности) характеризовать приближенно разделяющую силу используемого критерия одним числом