7.5. Алгоритмы метода размытых множеств

При анализе социально-экономических и биологических систем, в ряде задач технической и медицинской диагностики встречаются ситуации, когда вопрос не в том, принадлежит ли данный объект классу а в том, до какой степени принадлежит

В связи с этим большое развитие получили методы нечеткой классификации, в основе которых лежит представление о классе как о размытом (нечетком) множестве объектов, для которых переход от принадлежности к данному классу к непринадлежности постепенен, а не скачкообразен. 7.5.1. Основные понятия, функционалы качества разбиекия, постановка задач.

Пусть исследуемая совокупность объектов. Размытое подмножество объектов задается при помощи функции S, сопоставляющей с объектом число называемое степенью принадлежности объекта этому подмножеству. Предполагается, что длявсех Ясно, что подмножество в обычном смысле задается функцией, принимающей значение 1 на элементах этого подмножества и — на остальных элементах.

Размытые подмножества совокупности О образуют разбиение на нечеткие классы, если для всех I. В случае когда для всех i, говорят, что размытые подмножества образуют покрытие нечеткими классами. Таким образом, разбиение на нечеткие классы задает отображение

сопоставляющее с объектом -мерный вектор его принадлежностей к классам этого разбиения.

Рассмотрим сначала случай, когда исходная информация о классифицируемых объектах представлена матрицей попарных взаимных расстояний (близостей) объектов. Тогда качество разбиения S оценивается тем, насколько соответствующее ему отображение искажает «геометрическую» конфигурацию совокупности О, описываемую матрицеи . Например, [193]:

где и с — параметр.

Задача классификации — найти

В такой постановке задача нечеткой классификации представляет собой вариант задачи многомерного метрического шкалирования (см. гл. 16), в котором экстремум функционала ищут на подмножестве отображений выделяемом условиями

Ясно, что функционалы качества -мерного метрического шкалирования могт служить функционалами качества разбиения на k нечетких классов. Среди таких функционалов отметим (см. [66])

который является частным случаем функционалов (формула (16.8)) (формула ).

Здесь — параметр, если

Пусть теперь исходная информация представлена матрицей «объект — свойство», т. е. совокупность объектов можно отождествить с набором -мерных точек

Предположим, что Опишем критерии качества разбиения, аналогичные критериям, использующим понятие усредненного внутриклассового разброса. Выберем монотонную функцию на отрезке [0, 1], такую, что

Для размытого подмножества S в X и точки положим

где Для обычного подмножества S (когда либо 1) выражение для не зависит от выбора и называется разбросом этого подмножества относительно точки . По аналогии общее выражение для назовем -взвешенным разбросом размытого множества S. Центр размытого множества S определим, естественно, как решение задачи

Имеем

Внутриклассовый разброс размытого множества S определим как разброс этого множества относительно его центра, т. е. .

Теперь пусть — некоторое разбиение на нечеткие классы. Положим

В задаче классификации, отвечающей этому критерию, весовые функции являются параметрами, которые можно фиксировать либо подбирать в ходе классификации.

Широкий класс критериев качества разбиения на нечеткие множества получается, если использовать подход метода динамических сгущений (см. п. 7.4). Выберем некоторую меру сходства . Тогда, как и выше, для монотонной функции вводится разброс размытого подмножества S относительно представителя I по формуле:

Пусть теперь -некоторое разбиение на нечеткие классы и (-некоторое представительство (см. 7.4.1). Положим

Критерий качества разбиения, соответствующий в МДС, имеет вид где — функция представительства. В рассматриваемом случае, при , где