Главная > Прикладная статистика: Классификации и снижение размерности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.2. Методы описания риска развития события

4.2.1. Мгновенный риск и факторизация Кокса.

В предыдущем параграфе для описания вероятности возникновения неисправности за время от одного осмотра до другого использовалось понятие риск-группы. Но для той же цели можно использовать понятие мгновенного риска (или просто риска)

Риск и вероятность события (появление неисправности за интервал ) связаны соотношением

По аналогии с (4.7) можно ввести условный риск в момент t при условии, что в момент осмотра объект имел вектор показателей исправен в

Понятие условного риска — более тонкий инструмент для описания закономерностей возникновения неисправности, чем — понятие условной вероятности. Однако вообще говоря, требует для своей оценки заметно большего числа наблюдений.

С целью частичного преодоления этой трудности в 1972 г. Д. Кокс [206] предложил факторизовать путем представления

или

где в (4.9) — функция «возраста» объекта, а в функция времени, прошедшего после осмотра; — функция изучаемых признаков. В зависимости от соображений предметной области выбирается одна из указанных моделей. Поскольку обе модели трактуются одинаково, в дальнейшем будет рассмотрена только первая из них.

При предположении, что , где — известная функция, а вектор неизвестных параметров, факторизация (4.9) позволяет оценивать g (X) независимо от функции h. Для этого на шкалу возраста наносятся точки соответствующие возрасту объекта в момент наступления неисправности, и для каждой точки выписывается условная вероятность, что среди всех объектов возраста i, в исследовании неисправность наступит только у объекта при условии, что она действительно наступила у объекта возраста

где суммирование проводится по всем объектам в возрасте находившимся в исследовании. Полученные вероятности объединяются в общую функцию условного правдоподобия

Параметры оцениваются из условия максимизации Наиболее часто используется функция Процедуры оценки входят во многие статистические пакеты. Асимптотические свойства изучены пока только в традиционной асимптотике.

4.2.2. Связь между риском и линейной дискриминантной функцией.

Формула (4.8) показывает, что всегда возможен переход от риска события (возникновение неисправности) к вероятности его осуществления за заданный промежуток времени.

Проанализируем с точки зрения риск

Эта формула важна для медицинских приложений, так как достаточно хорошо описывает средний риск кардиоваскулярной смерти для лиц старше 30 лет, а — наиболее часто используемое предположение о g (X).

Пусть Ни — как прежде, гипотеза, что неисправность не наступила. Если объект был обследован в возрасте s, имел при этом вектор показателей X и пробыл в исследовании Т лег, то

С другой стороны, в классической модели Фишера дискриминантного анализа для описания той же вероятности используется логистическая функция, в которой s — возраст объекта — в момент обследования рассматривается в качестве одной из переменных

Формулы (4.12) и (4.13) похожи в том смысле, что в обеих в качестве аргумента используются линейные комбинации координат X и s, но они различны аналитически.

Если положить то для оба выражения для вероятности численно близки. Это видно из табл. 4.1, в которой приведены значения функций

Это позволяет связать оба метода и, в частности, использовать оценки, полученные с помощью дискриминантного анализа, в качестве первого приближения в итеративных процедурах оценки .

При работе с риском события информация, содержащаяся в исходных данных, используется более полно, чем при работе с вероятностью осуществления события за время Т, описывается ли она формулой (4.12) или (4.13)

Таблица 4.1

Если в факторизации (4.9) ограничено снизу, a h (t) не убывает с ростом t, то при «разрешающая» сила любого метода ДА стремится к нулю, поскольку все объекты становятся случаями При использовании функций риска это не страшно, так как при оценке параметров используется информация о том, когда объекты становятся случаями.

4.2.3. Измерение динамики силы влияния факторов.

Естественно думать, что влияние того или нного фактора или группы факторов различно в ближайшем и отдаленном периодах. Несмотря на высокую практическую важность количественного изучения динамики силы фактора или интенсивности событий, строго документированные сведения в ряде областей знания практически отсутствуют. Немалую роль в этом сыграло отсутствие до последнего времени подходящего математического аппарата, позволяющего проводить исследование при сравнительно умеренных затратах.

В [271] показано, что повышенное систолическое артериальное давание у мужчины в возрасте 45—60 лет весьма информативно в отношении коронарной смерти в ближайшие 20 месяцев, что со временем информативность падает и что она весьма мала через 90 месяцев после первоначального измерения. Ниже приводятся результаты этой работы с целью демонстрации возможностей, открываемых соответствующим математическим аппаратом.

Пусть s — возраст в момент включения субъекта в исследование, когда проводилось начальное измерение систолического артериального давления, — величина систолического артериального давления (в мм ); - нижний и верхний квартили распределения х; t — текущий возраст; — условный риск коронарной смерти для субъекта возраста t при условии, что в возрасте s он имел систолическое артериальное давление . В исследовании использованы данные из London Busmen Study, эпидемиологического исследования, направленного на выявление риск-факторов, ведущих к развитию ишемической болезни сердца.

Рис. 4.1. Сила предсказания для двух математических моделей [271]

В исследование были включены 684 мужчины в возрасте от 39 до 65 лет. Здоровье каждого из них прослеживалось в течение десяти и более лет. За это время случилось 66 кардиоваскулярных смертей. Если бы имеющиеся данные были разделены на несколько групп согласно возрасту и величине артериального давления, то численность наблюдений в каждой из получившихся групп была бы недостаточной для каких-либо выводов. Только комплексное использование всего материала на базе предположений о форме зависимости риска смерти от и t делает анализ возможным.

В качестве показателя прогностической силы использовано

Модельные предположения о

где a, b, с — неизвестные постоянные; , a , где — постоянные. Анализ можно было бы провести и без конкретизации вида , но при этом на 25 % возросла бы длина доверительных интервалов.

На рис. 4 1 показатель прогностической силы, определенный в предположении (4.14), обозначен в предположении (4.15) . Как видим, качественного различия при использовании моделей (4.14) и (4.15) нет. Предсказующая сила убывает очень быстро, уменьшаясь в два раза к концу второго года.

Общая математическая модель для изучения динамики влияния нескольких факторов строится [107] из геометрических соображений модели Фишера классического дискриминантного анализа (см. § 2.3). Пусть t, s, X определены как выше, М — вектор средних, а — ковариационная матрица X, тогда

где

неизвестные параметры модели. Асимптотические свойства модели (4.16) в асимптотике растущей размерности пока не исследованы.

1
Оглавление
email@scask.ru