Глава 12. СРЕДСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ АВТОМАТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ

12.1. Некоторые средства оценки результатов кластер-анализа

12.1.1. Оценка качества классификации с помощью критериев классификации.

Предположим, что, используя некоторую процедуру кластер-анализа (классификации), получили разбиение объектов из нескольких групп. Один из важных вопросов, который возникает у исследователя: насколько удачно полученное разбиение. Основным критерием качества и обоснованности полученного разбиения является содержательный анализ результатов, основанный на осмыслении исследователем возможных причинных механизмов осуществления и обособления полученных групп объектов. Чисто статистические критерии оказывают лишь помощь в этом процессе. С одной стороны, они позволяют отбраковывать плохие группировки, но, с другой стороны, группировка, удачная по этим критериям, может и не иметь содержательной ценности.

Известны десятки критериальных величин, используемых в кластер-анализе (см. гл. 5, 7, 10, 11). В работе [2731 тридцать из них подвергнуто изучению методом статистического моделирования. В результате эти критерии были упорядочены по степени согласованности их величины с удачностью применения кластерного анализа (использовалось 15 различных процедур) к массивам данных, кластерная структура которых была заранее известна. Две величины, которые рассматриваются дальше, входили в шестерку лучших. Следует отметить, однако, что при проведении моделирования использовалась только евклидова метрика.

В частности, возможно, поэтому инвариантные критерии не «проявили» себя в должной мере и не попали в шестерку лучших. Пусть совокупность объектов разбита на k групп

Рассмотрим здесь следующие две величины, полезные для оценки качества разбиения: величина объясненной доли общего разброса Т и точечно-бисериальный коэффициент корреляции Некоторые другие величины приведены также в § 12.2.

Чтобы определить величину введем следующие три характеристики степени рассеивания объектов из X:

общее рассеивание

межклассовый разброс (12.2)

внутриклассовый разброс

где — общий центр тяжести, центр тяжести группы; — число объектов в группе

Если используется евклидово или взвешенное евклидово расстояние, то имеет место известное равенство

Рассмотрим величину

Чем больше величина Т, тем большая доля общего разброса точек «объясняется» межклассовым разбросом и можно считать, с определенным основанием, тем лучше качество разделения. Очевидно, .

Точечно-бисериальный коэффициент корреляции определяется следующим образом.

Каждой паре объектов поставим в соответствие две величины — расстояние между ними в выбранной метрике и индекс эквивалентности

если принадлежат одному классу; и — в противном случае.

Коэффициент подсчитывается как обычный коэффициент корреляции между и бинарной величиной по всем парам объектов, что дает

где — среднее расстояние между точками из разных кластеров;

— среднее расстояние между точками из одного кластера;

— число расстояний между точками, попавшими в одну группу;

— число расстояний между точками из разных кластеров;

— общее число расстояний;

— стандартное отклонение расстояний.

12.1.2. Оценка компактности выделенных групп.

Другие полезные для оценки качества разбиения характеристики можно ввести с помощью следующих определений [110].

Кластером называется группа объектов такая, что выполняется неравенство т. е. средний квадрат внутригруппового расстояния до центра группы меньше среднего квадрата расстояния до общего центра в исходной совокупности. Чем больше среди групп кластеров, тем более успешным можно считать разбиение.

Еще более полезным является понятие «сгущение». Группа объектов G; называется сгущением, если максимальный квадрат расстояния объектов из G, до центра группы меньше

В [110] эти понятия введены в случае, когда используются не расстояния между объектами, а некоторые меры близости между ними.

Агломеративные иерархические процедуры классификации устроены так, что группировки, получаемые при разрезании дерева на любом уровне, будут кластерами в смысле, определенном выше. Для других процедур, например типа -средних, это не гарантируется, поэтому получение кластеров при их применении можно рассматривать как достаточно важное указание на хорошее качество разделения.

12.1.3. Визуальные средства оценки степени разиесеиности и компактирсти выделенных групп объектов.

Полезным средством, позволяющим быстро оценить успешность разделения, компактность классов, наличие в них выбросов и т. д., являются одно-, двумерные отображения множества точек, с указанием их групповой принадлежности, в виде гистограмм и диаграмм рассеивания на некоторые подходящим образом выбранные направления. В качестве таких отображений обычно используют отображения на оси главных компонент и факторные оси (количественные признаки, см. гл. 13):

нелинейное отображение (количественные переменные, см. гл. 13);

метрическое и неметрическое шкалирование (обрабатывается матрица расстояний или удаленностей, см. гл. 16);

оси, получаемые в анализе соответствий (неколичественные переменные и переменные смешанной природы, см. § 17.2).

В случае количественных, а также оцифрованных (§ 17.3) переменных эффективным будет отображение на канонические дискриминантные направления (подробнее о них см. гл. 19), которые определяются как собственные векторы обобщенной задачи на собственные числа и векторы вида где S — полная ковариационная матрица; W — матрица внутригруппового разброса.

Для получения проекций используются векторы, соответствующие наибольшим собственным значениям. Заметим, что имеется не более чем ненулевых собственных чисел. Отсюда следует, что если имеется класса и то отображение на плоскость двух первых канонических направлений содержит полную информацию о различиях между классами, и их образы необходимо не должны иметь пересечения (если в процедурах классификации использовалась какая-то разновидность евклидовой метрики). При вообще говоря, отображение на плоскость, определяемую первыми двумя каноническими направлениями, может содержать пересекающиеся классы, их отсутствие возможно только при определенном расположении центров тяжести классов (на некоторой плоскости, на прямой или на плоской кривой в р-мерном пространстве; см., например, рис. 12.1).

Но тогда можно использовать и больше канонических векторов и исследовать отображения, например, на 1-е и 3-е или 2-е и 3-е направления и т. д. Отображение, определяемое парой канонических направлений, на котором любой указанный класс будет отделен от других, должно существовать Из сказанного, в частности, можно сделать следующий вывод.

(см. скан)

Рис. 12.1. Отображение результатов классификации на плоскость двух первых канонических направлений а) ; б)

Если на плоскости, определяемой первыми двумя каноническими направлениями, разделены все группы и то это означает определенную закономерность в расположении центров классов и, следовательно, уверенность в том, что это деление несет в себе некоторую смысловую нагрузку, возрастает.

Отображения можно использовать для нескольких целей. Во-первых, для получения перечисленной в начале параграфа информации. Во-вторых, для получения информации о структуре, которую образуют сами кластеры, например, об их возможной пространственной упорядоченности, имеющей в то же время содержательный смысл, как это видно из примера 12.1 (рис. 12.1). Такую информацию трудно получить другими способами. В-третьих, для интерпретации. Поскольку в большинстве случаев (за исключением нелинейного отображения и шкалирования) отображения определяются векторами, коэффициенты этих векторов можно использовать для интерпретации таким же способом, как и нагрузки в факторном анализе.

Пример 12.1. Применим процедуру классификации (разделения смесей) к реальным данным Матрица этих данных содержит значения 31 показателя социально-экономического развития для 85 несоциалистических стран (данные относятся к началу 70-х годов). Из этих переменных нами было использовано 29.

Приведем в сокращенном виде реаультаты работы программы при разбиении на три класса

1-Й КЛАСС (ГРУППА)

НОМЕРА ОБЪЕКТОВ

КОЛИЧЕСТВО ОБЪЕКТОВ В КЛАССЕ

2-Й КЛАСС (ГРУППА)

НОМЕРА ОБЪЕКТОВ

КОЛИЧЕСТВО ОБЪЕКТОВ В КЛАССЕ

3-Й КЛАСС (ГРУППА)

НОМЕРА ОБЪЕКТОВ

КОЛИЧЕСТВО ОБЪЕКТОВ В КЛАССЕ

СУММА РАССТОЯНИЙ ДО ОБЩЕГО ЦЕНТРА

СРЕДНЕЕ РАССТОЯНИЕ ДО ОБЩЕГО ЦЕНТРА

ДОЛЯ РАЗБРОСА, ОБЪЯСНЕННАЯ КЛАССИФИКАЦИЕЙ,

БИСЕРИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Часть результатов, полезных для анализа удачности разбиения, суммируется в табл. 12.1.

Таблица 12.1

В третьем столбце приведены номера эталонных объектов, наиболее близких к центрам групп, в пятом — номера объектов, на которых достигаются максимальные расстояния.

Согласно определению, приведенному в п. 12.1.2, все три выделенные группы являются кластерами, а первая будет также сгущением Значения критериев Т и В также достаточно велики. Однако визуальный анализ рис. 12.1 а (проекции на канонические направления) показывает, что разделение групп 1 и 2 (символы А и В соответственно) нельзя признать выраженным. Скорее можно считать, что существует непрерывный переход от группы А к группе В. На рисунке хорошо выделен один объект из 2-й группы (обведен кружком), на котором реализуется максимальное расстояние. Группа 3 (символ С) хорошо отделена от первых двух групп.

Применим тот же алгоритм к тем же данным, но положим k=4, т. е. проводим разделение на 4 группы. Результаты классификации теперь будут такими: Другие величины приведены в табл. 12.2.

Таблица 12.2

Снова все выделенные группы — кластеры, а одна из них — сгущение. Значения уменьшились. Визуальная картина разделения (см. рис. 12.16) также указывает на лучшее качество разделения между группами и отсутствие далеко отстоящих объектов. На рисунке ясно прослеживается подковообразная структура, образованная проекциями объектов. Следует отметить, что на рис. 12.1 а и б символы, соответствующие одному и тому же объекту, могут не совпадать. Так, большинство объектов из группы 2 примера 12.1 а (символ В на рис. 12.1 а) перешли в группу 4 (символ D на рис. 12.16). Соотнесение объектов из выделенных групп с исходными данными показывает, в частности, что в группу D вошли в основном высокоразвитые страны (США, европейские страны, Япония) и, напротив, в группу А — развивающиеся страны с низкими показателями социально-экономического развития. Таким образом, расположение кластеров, упорядоченное вдоль указанной подковообразной кривой, соответствует их некоторому содержательному упорядочению, что, по-видимому, повышает доверие к результату классификации.