Главная > Прикладная статистика: Классификации и снижение размерности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 12. СРЕДСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ АВТОМАТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ

12.1. Некоторые средства оценки результатов кластер-анализа

12.1.1. Оценка качества классификации с помощью критериев классификации.

Предположим, что, используя некоторую процедуру кластер-анализа (классификации), получили разбиение объектов из нескольких групп. Один из важных вопросов, который возникает у исследователя: насколько удачно полученное разбиение. Основным критерием качества и обоснованности полученного разбиения является содержательный анализ результатов, основанный на осмыслении исследователем возможных причинных механизмов осуществления и обособления полученных групп объектов. Чисто статистические критерии оказывают лишь помощь в этом процессе. С одной стороны, они позволяют отбраковывать плохие группировки, но, с другой стороны, группировка, удачная по этим критериям, может и не иметь содержательной ценности.

Известны десятки критериальных величин, используемых в кластер-анализе (см. гл. 5, 7, 10, 11). В работе [2731 тридцать из них подвергнуто изучению методом статистического моделирования. В результате эти критерии были упорядочены по степени согласованности их величины с удачностью применения кластерного анализа (использовалось 15 различных процедур) к массивам данных, кластерная структура которых была заранее известна. Две величины, которые рассматриваются дальше, входили в шестерку лучших. Следует отметить, однако, что при проведении моделирования использовалась только евклидова метрика.

В частности, возможно, поэтому инвариантные критерии не «проявили» себя в должной мере и не попали в шестерку лучших. Пусть совокупность объектов разбита на k групп

Рассмотрим здесь следующие две величины, полезные для оценки качества разбиения: величина объясненной доли общего разброса Т и точечно-бисериальный коэффициент корреляции Некоторые другие величины приведены также в § 12.2.

Чтобы определить величину введем следующие три характеристики степени рассеивания объектов из X:

общее рассеивание

межклассовый разброс (12.2)

внутриклассовый разброс

где — общий центр тяжести, центр тяжести группы; — число объектов в группе

Если используется евклидово или взвешенное евклидово расстояние, то имеет место известное равенство

Рассмотрим величину

Чем больше величина Т, тем большая доля общего разброса точек «объясняется» межклассовым разбросом и можно считать, с определенным основанием, тем лучше качество разделения. Очевидно, .

Точечно-бисериальный коэффициент корреляции определяется следующим образом.

Каждой паре объектов поставим в соответствие две величины — расстояние между ними в выбранной метрике и индекс эквивалентности

если принадлежат одному классу; и — в противном случае.

Коэффициент подсчитывается как обычный коэффициент корреляции между и бинарной величиной по всем парам объектов, что дает

где — среднее расстояние между точками из разных кластеров;

— среднее расстояние между точками из одного кластера;

— число расстояний между точками, попавшими в одну группу;

— число расстояний между точками из разных кластеров;

— общее число расстояний;

стандартное отклонение расстояний.

12.1.2. Оценка компактности выделенных групп.

Другие полезные для оценки качества разбиения характеристики можно ввести с помощью следующих определений [110].

Кластером называется группа объектов такая, что выполняется неравенство т. е. средний квадрат внутригруппового расстояния до центра группы меньше среднего квадрата расстояния до общего центра в исходной совокупности. Чем больше среди групп кластеров, тем более успешным можно считать разбиение.

Еще более полезным является понятие «сгущение». Группа объектов G; называется сгущением, если максимальный квадрат расстояния объектов из G, до центра группы меньше

В [110] эти понятия введены в случае, когда используются не расстояния между объектами, а некоторые меры близости между ними.

Агломеративные иерархические процедуры классификации устроены так, что группировки, получаемые при разрезании дерева на любом уровне, будут кластерами в смысле, определенном выше. Для других процедур, например типа -средних, это не гарантируется, поэтому получение кластеров при их применении можно рассматривать как достаточно важное указание на хорошее качество разделения.

12.1.3. Визуальные средства оценки степени разиесеиности и компактирсти выделенных групп объектов.

Полезным средством, позволяющим быстро оценить успешность разделения, компактность классов, наличие в них выбросов и т. д., являются одно-, двумерные отображения множества точек, с указанием их групповой принадлежности, в виде гистограмм и диаграмм рассеивания на некоторые подходящим образом выбранные направления. В качестве таких отображений обычно используют отображения на оси главных компонент и факторные оси (количественные признаки, см. гл. 13):

нелинейное отображение (количественные переменные, см. гл. 13);

метрическое и неметрическое шкалирование (обрабатывается матрица расстояний или удаленностей, см. гл. 16);

оси, получаемые в анализе соответствий (неколичественные переменные и переменные смешанной природы, см. § 17.2).

В случае количественных, а также оцифрованных (§ 17.3) переменных эффективным будет отображение на канонические дискриминантные направления (подробнее о них см. гл. 19), которые определяются как собственные векторы обобщенной задачи на собственные числа и векторы вида где S — полная ковариационная матрица; W — матрица внутригруппового разброса.

Для получения проекций используются векторы, соответствующие наибольшим собственным значениям. Заметим, что имеется не более чем ненулевых собственных чисел. Отсюда следует, что если имеется класса и то отображение на плоскость двух первых канонических направлений содержит полную информацию о различиях между классами, и их образы необходимо не должны иметь пересечения (если в процедурах классификации использовалась какая-то разновидность евклидовой метрики). При вообще говоря, отображение на плоскость, определяемую первыми двумя каноническими направлениями, может содержать пересекающиеся классы, их отсутствие возможно только при определенном расположении центров тяжести классов (на некоторой плоскости, на прямой или на плоской кривой в р-мерном пространстве; см., например, рис. 12.1).

Но тогда можно использовать и больше канонических векторов и исследовать отображения, например, на 1-е и 3-е или 2-е и 3-е направления и т. д. Отображение, определяемое парой канонических направлений, на котором любой указанный класс будет отделен от других, должно существовать Из сказанного, в частности, можно сделать следующий вывод.

(см. скан)

Рис. 12.1. Отображение результатов классификации на плоскость двух первых канонических направлений а) ; б)

Если на плоскости, определяемой первыми двумя каноническими направлениями, разделены все группы и то это означает определенную закономерность в расположении центров классов и, следовательно, уверенность в том, что это деление несет в себе некоторую смысловую нагрузку, возрастает.

Отображения можно использовать для нескольких целей. Во-первых, для получения перечисленной в начале параграфа информации. Во-вторых, для получения информации о структуре, которую образуют сами кластеры, например, об их возможной пространственной упорядоченности, имеющей в то же время содержательный смысл, как это видно из примера 12.1 (рис. 12.1). Такую информацию трудно получить другими способами. В-третьих, для интерпретации. Поскольку в большинстве случаев (за исключением нелинейного отображения и шкалирования) отображения определяются векторами, коэффициенты этих векторов можно использовать для интерпретации таким же способом, как и нагрузки в факторном анализе.

Пример 12.1. Применим процедуру классификации (разделения смесей) к реальным данным Матрица этих данных содержит значения 31 показателя социально-экономического развития для 85 несоциалистических стран (данные относятся к началу 70-х годов). Из этих переменных нами было использовано 29.

Приведем в сокращенном виде реаультаты работы программы при разбиении на три класса

1-Й КЛАСС (ГРУППА)

НОМЕРА ОБЪЕКТОВ

КОЛИЧЕСТВО ОБЪЕКТОВ В КЛАССЕ

2-Й КЛАСС (ГРУППА)

НОМЕРА ОБЪЕКТОВ

КОЛИЧЕСТВО ОБЪЕКТОВ В КЛАССЕ

3-Й КЛАСС (ГРУППА)

НОМЕРА ОБЪЕКТОВ

КОЛИЧЕСТВО ОБЪЕКТОВ В КЛАССЕ

СУММА РАССТОЯНИЙ ДО ОБЩЕГО ЦЕНТРА

СРЕДНЕЕ РАССТОЯНИЕ ДО ОБЩЕГО ЦЕНТРА

ДОЛЯ РАЗБРОСА, ОБЪЯСНЕННАЯ КЛАССИФИКАЦИЕЙ,

БИСЕРИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Часть результатов, полезных для анализа удачности разбиения, суммируется в табл. 12.1.

Таблица 12.1

В третьем столбце приведены номера эталонных объектов, наиболее близких к центрам групп, в пятом — номера объектов, на которых достигаются максимальные расстояния.

Согласно определению, приведенному в п. 12.1.2, все три выделенные группы являются кластерами, а первая будет также сгущением Значения критериев Т и В также достаточно велики. Однако визуальный анализ рис. 12.1 а (проекции на канонические направления) показывает, что разделение групп 1 и 2 (символы А и В соответственно) нельзя признать выраженным. Скорее можно считать, что существует непрерывный переход от группы А к группе В. На рисунке хорошо выделен один объект из 2-й группы (обведен кружком), на котором реализуется максимальное расстояние. Группа 3 (символ С) хорошо отделена от первых двух групп.

Применим тот же алгоритм к тем же данным, но положим k=4, т. е. проводим разделение на 4 группы. Результаты классификации теперь будут такими: Другие величины приведены в табл. 12.2.

Таблица 12.2

Снова все выделенные группы — кластеры, а одна из них — сгущение. Значения уменьшились. Визуальная картина разделения (см. рис. 12.16) также указывает на лучшее качество разделения между группами и отсутствие далеко отстоящих объектов. На рисунке ясно прослеживается подковообразная структура, образованная проекциями объектов. Следует отметить, что на рис. 12.1 а и б символы, соответствующие одному и тому же объекту, могут не совпадать. Так, большинство объектов из группы 2 примера 12.1 а (символ В на рис. 12.1 а) перешли в группу 4 (символ D на рис. 12.16). Соотнесение объектов из выделенных групп с исходными данными показывает, в частности, что в группу D вошли в основном высокоразвитые страны (США, европейские страны, Япония) и, напротив, в группу А — развивающиеся страны с низкими показателями социально-экономического развития. Таким образом, расположение кластеров, упорядоченное вдоль указанной подковообразной кривой, соответствует их некоторому содержательному упорядочению, что, по-видимому, повышает доверие к результату классификации.

1
Оглавление
email@scask.ru