16.2. Неметрическое многомерное шкалирование [307, 261, 260, 152]
16.2.1. Структурная модель.
В неметрическом МШ предполагается, что различия (близости) 
измерены в ординальной шкале, так что важен только ранговый порядок различий, а сами их численные значения не так важны. Процедуры неметрического МШ стремятся построить такю гео метрическую конфип рацию точек в 
-мерном пространстве, чтобы ранговый порядок попарных расстояний, между ними совпадал по возможности с ранговым порядком различий, т. е. отобразить неметрическую (ранговую) информацию в метрической шкале.
Поскольку ранговый порядок не меняется при любом монотонно возрастающем преобразовании, задаваемом функцией 
то приходим к следующей структурной модели. 
да 
. Это означает, что процедура построения подходящей геометрической конфигурации включает в себя не только подгонку координат точек-образов, но и самой функции 
.
Дальше через 
будем обозначать значение 
Для измерения того, насколько в среднем близки эти значения к аппроксимирующим их расстояниям 
используются различные критерии, например
Это известный «стресс»-критерий (форма 1), предложенный Краскалом [261]. Используются и его модификации [329, 89]:
(16.10)
где 
— среднее значение расстояния.
Функция 
может задаваться как в параметрическом виде, так и непараметрически Для последнего случая Краскалом предложен метод получения геометрической конфигурации по критерию (16 9) или (16 10), который носит название шкалирования на основе монотонной регрессии [260].
При параметрическом задании функцию 
выбирают из некоторого параметрического семейства монотонных функций 
и, кроме 
-мерных наборов координат, определяются и значения параметров Аддитивная константа, рассмотренная в п. 16.1.4 , может служить простейшим примером задания функции 
Эта константа является единственным оцениваемым параметром при таком задании функции. Большие возможности дает использование линейной функции
(16.11)
Здесь уже имеется двумерный вектор параметров 
16.2.2. Некоторые замечания о вычислительной процедуре.
Когда функция 
задана, критерий (16.9) (равно как и критерии (16.10), (16 10)) можно переписать в виде 
. Будем считать, что имеется единственное значение 
которое минимизирует (16.9) при фиксированном Z (для функции вида (16.11) это, очевидно, имеет место).
Теперь, подставляя в 
минимизирующее значение 
видим, что для получения Z нужно минимизировать критерий
(16.12)
Вычислим теперь градиент (16.12) по Z. Имеем
Но, поскольку значение 
получено само из условия минимума 
по 
, необходимо должно выполняться условие
и, следовательно, выражение для градиента упрощается:
Таким образом, каждая итерация в задаче минимизации критерия (16.10) может быть разбита на две фазьг
1) минимизация по 0 при заданном Z. В случае функции (16 11) эта задача сводится к оценке а и b по методу наименьших квадратов и решается просто и однозначно,
2) минимизация 5 (Z) при фиксированном 0. Здесь, как правило, используется градиентная процедура. Затем происходит возврат к фазе 1. Весьма важным моментом на фазе 2 является выбор шага. По этому поводу и относительно других деталей вычислительной процедуры см. работу 189].
