6.3. Идентифицируемость (различимость) смесей распределений

Семейство смесей (6.6) (, см. (6.5)) называется идентифицируемым (различимым), если из равенства

следует, что для всех

Поскольку нас интересуют в первую очередь конечные смеси типа (6.6), переформулируем понятие идентифицируемости (различимости) смесей специально применительно к ним.

Конечная смесь (6.6) называется идентифицируемой (различимой), если из равенства

следует: и для любого найдется такое что

В работах [320, 321, 327] сформулированы необходимые и достаточные условия различимости для непрерывных и конечных смесей. Из них, в частности, следует, что различными являются конечные смеси из распределений: 1) нормальных (в том числе многомерных); 2) экспоненциальных; 3) нуассоновских; 4) Коши. Описание и свойства перечисленных распределений см., например, в [11, гл. 6]. В то же время конечные смеси биномиальных, равномерных распределений в общем случае не являются идентифицируемыми. При определенном классе смешивающих распределений не являются идентифицируемыми и непрерывные смеси нормальных распределений. Поясним это на примерах.

Пример 6.3. Пусть семейство компонентов смеси состоит из равномерных распределений с неизвестными параметрами, т. е. и плотность

Рассмотрим класс конечных смесей, когда функция имеет лишь два скачка, что соответствует смешиванию двух различных однородных классов.

Легко проверить, что для любого

Это означает, что смешивающая функция делает два скачка величины и и если то . Аналогично можно произвести разбиение для любого числа классов. На рис. 6.2 представлен частный случай разбиения на два класса, когда два разных варианта смешивающих функций (1-й вариант: 2-й вариант: приводят к одному и тому же выражению для плотности смеси распределений.

Рис. 6.2. Пример неразличимых смесей произвольное разбиенне точек, равномерно распределенных на отрезке прямой, на два класса

Другими словами, однородная группа представителей, которые могут появиться равновероятно в любой точке неопределенной области, может трактоваться как смесь (даже конечная) групп представителей, однородных в том же смысле. Но если об области, где могут появляться представители, кое-что известно, например в данном случае равномерное распределение уже нельзя разбить на смесь двух равномерных распределений с

Пример 6.4. Рассмотрим семейство двумерных равномерных распределений на секторах круга единичного радиуса с центром в точке (0,0). Сектор задается начальным направлением и углом при вершине , где . Таким образом, для любых выполняется равенство

что означает, что семейство смесей F неразличимо. Следовательно, равномерное распределение на круге с плотностью можно представить в виде

Это означает, что возможно любое разделение точек на два класса прямой, проходящей через центр.