17.1.3. Интерпретация главных компонент в анализе соответствий.

Легко видеть, что фактор — пропорционален -гмерному вектору координат проекций нормированных профилей - строк на вектор . Аналогичным смысл, но для нормированных вектор-столбцов имеет вектор Действительно, вектор координат проекции нормированных профилей строк будет к Несложные преобразования дают . Но это значит, что координаты проекций точек из на направление, задаваемое собственным вектором , пропорциональны (с множителем ) компонентам фактора в другом пространстве или соответствующем тому же самому собственному числу. Итак, координаты проекций получаются умножением факторов на :

Теперь, используя соотношения (17.11), имеем:

(17.12)

Соотношения (17.11) можно интерпретировать следующим образом проекция профиля строки на ось (равная ) с точностью до множителя (одинакового для всех является взвешенным центром тяжести для проекции профилей столбцов на ось вычисленным с весами вес равен компоненте профиля строки.

Это свойство полностью характеризует факторы и может быть взято как исходное при определении АС.

Отметим теперь еще три свойства решений уравнений (17.11) и (17.8):

1) существуют факторы с единичными компонентами и собственным числом (тривиальный фактор). Это решение появляется в силу того, что сумма элементов для любого из профилей равна 1. Если при выводе уравнений для векторов U и V использовать разброс относительно центра тяжести, а не относительно нулевого профиля, как было сделано, то тривиальное решение не появилось бы;

2) все собственные числа Количество ненулевых собственных чисел включая тривиальное, не превышает Для суммы ненулевых собственных чисел имеет место равенство

где — статистика вычисленная для таблицы сопряженностей

3) имеет место следующее разложение матрицы F по системе факторов и (см. [263, 12]):

(17.13)