Глава 3. ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО КЛАССИФИКАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ОБУЧАЮЩИХ ВЫБОРОК (ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ)

3.1. Предварительный анализ данных

Это один из наиболее ответственных этапов дискриминантного анализа, направленный на формирование математической модели данных, которая в свою очередь служит основой для выбора конкретного алгоритма. Редко исследование с применением ДА осуществляется изолированно. Поэтому при предварительном анализе обязательно надо использовать опыт других близких работ, а не полагаться всецело на данную конкретную обучающую выборку. Кроме того, следует различать условия, при которых метод классификации выводится, и условия, при которых он может быть успешно применен.

Анализ обычно начинается с общего осмотра данных, проводимого с помощью метода главных компонент [11, 10.5]. Ниже описываются более специфические приемы.

3.1.1. Проверка применимости линейной дискриминантной функции (ЛДФ) В п. 1.1 2 ЛДФ выведена как логарифм отношения правдоподобия в задаче Фишера. Соответствующая математическая модель — два многомерных нормальных распределения с общей ковариационной матрицей. Построим графический тест для проверки этого базового предположения. Но прежде, чем описывать тест, обратим внимание на качественное смысловое различие классов, часто встречающееся в приложениях. Это поможет понять интуитивную идею, лежащую в основе теста. Один из классов обычно соответствует или стабильному состоянию, или устойчивому течению какого-либо процесса. Он относительно однороден. Для него, как правило, и нет основания ожидать слишком большого отклонения от многомерной

Назовем объекты этого класса не-случаями С другой стороны, объекты другого класса — случаи — представляют собой отклонения от равновесия, устойчивости Отклонения могут происходить в разных направлениях Можно ожидать, что разброс вектора X для случаев больше, чем для не-случаев Случаи хуже изучены по сравнению с не-случаями

Спроектируем случаи на двумерную плоскость Для этого нормализуем выборочные векторы случаев согласно выборочным оценкам среднего и ковариационной матрицы не-случаев

где X и S определены как обычно

Найдем теперь двумерную плоскость, проходящую через начало координат (центр не-случаев после нормализации), такую, что сумма квадратов расстояний от нее минимальна Нетрудно видеть, что эта плоскость должна быть натянута на первые два собственных вектора, соответствующих наибольшим корням матрицы Далее спроектируем каждый вектор на эту плоскость и построим отдельно гистограмму, показывающую распределение расстояний случаев от этой плоскости Если достаточно велики по сравнению с и верны базовые предположения, то линии постоянного уровня плотности случаев должны быть концентрическими окружностями с центром в точке, соответствующей Распределение расстояний точек от плоскости должно соответствовать примерно -распределению с степенями свободы

Визуальный анализ расположения проекций случаев на плоскости позволяет ответить на следующие вопросы

1 Возможна ли вообще эффективная классификация с помощью плоскости?

2 Насколько геометрия расположения случаев соответствует гипотезе о равенстве ковариационных матриц?

3 Насколько однородны случаи? Не распадается ли их распределение на отдельные кластеры?

4 Нет ли среди случаев слишком удаленных от плоскости?

и т. п.

Пример применения предложенного анализа к конкретным данным показан на рис 3 1, а, б Из рисунка видно, что: 1) эффективная классификация (в данном случае речь идет о прогнозе события стать случаем) возможна, 2) распределение случаев имеет разброс больше ожидаемого согласно модели двух нормальных распределений с общей ковариационной матрицей;

(см. скан)

Рис. 3.1 Геометрическая проверка условий применимости линейного дискриминантного анализа а) проекции случаев на плоскость, б) распределение квадратов расстояний случаев от плоскости, О — два случая в той же точке

3) случаи не распадаются на отдельные кластеры. Совпадение распределения расстояний с распределением вполне удовлетворительно.

3.1.2. «Главные компоненты» одного из классов как новые информативные координаты.

Пусть, как и в предыдущем пункте, один из классов из содержательных соображений может быть выделен в качестве стабильного устойчивого состояния и принадлежащие ему объекты названы не-случаями. Объекты других классов будем называть случаями типа . Интуитивная идея, лежащая в основе предложения перейти к «главным компонентам» не-случаев, следующая: класс не-случаев не вполне однороден и в него наряду с типичными не-случаями входят объекты, которые все еще остаются не-случаями, но вместе с тем уже сдвинуты в направлениях случаев. Ковариационная матрица не-случаев должна нести следы этих сдвигов. При надлежащей обработке, расположении сдвигов и удаче в выборе параметра X (см. ниже) эти следы можно выявить и воспользоваться ими при выборе информативных для различения классов координат.

Введем теперь более точные определения. Пусть экспоненциально взвешенные оценки среднего и ковариационной матрицы не-случаев [11, п. 10.4.6], причем параметр X подобран так, чтобы - средний вес наблюдения обучающей выборки — был бы равен, например, 0,5.

Положим

Собственные векторы матрицы V. будем называть главными компонентами не-случаев. Для нас принципиально важно, что эти компоненты не зависят от векторов других классов. Если при проверке на обучающей выборке окажется, что векторы типа достаточно хорошо описываются первыми главными компонентами, то переход к новым координатам на базе первых главных компонент целесообразен. При проверке удобно построить график (отношение квадрата проекции вектора на первые I главных компонент к квадрату длины вектора) (рис. 3.2) с нанесенным ожидаемым значением квадрата длины проекции единичного равномерно распределенного случайного вектора, равным с учетом соответствующих стандартных отклонений, примерно равных . Как видно из рисунка, проекции на первые три главные компоненты значимо отличаются от ожидаемого значения.

3.1.3. Устойчивые оценки параметров распределений в классах.

Когда распределения X в классах можно считать приближенно многомерными нормальными, для оценки средних и ковариационных матриц рекомендуется использовать устойчивые к отклонениям от нормальности оценки, например ЭВ-оценки [11, п. 10.4.6]. При этом наблюдения, получившие аномально низкий вес, должны быть внимательно проэкзаменованы: не вкралась ли в их запись (X, у) ошибка.

Рис. 3.2. Отклонения квадрата длины проекции вектора на I первых главных компонент от ожидаемого значения при полностью случайной ориентации вектора — отношение квадрата проекции вектора на I первых главных компонент к квадрату длины вектора, О — математическое ожидание отношения; X — математическое ожидание отношения плюс два асимптотических стандартных отклонения

ЭВ-оценки помогают эффективно определять параметры классов при возможных ошибках в отнесении наблюдений к классам.

3.1.4. Проверка гипотез о простой структуре.

В § 2.3 показано, что информация о простой структуре ковариационной матрицы S дает возможность существенно улучшить результаты классификации.

Поэтому всякий раз перед применением ЛДФ следует проверить, имеет ли ковариационная матрица 2 древообразную структуру зависимостей [12, 4.2-4.3]. Для этого с помощью алгоритма Крускала оценивается структура зависимостей, а далее с учетом структуры строится . Пусть -обычная оценка 2. Для оценки значимости различия S и в условиях, когда X внутри класса распределены нормально, можно воспользоваться критерием максимального правдоподобия для проверки сложной гипотезы [11, п. 9.3.3]. При этом если предположение о ДСЗ верно, то величина

где суммирование производится по всем объектам класса, должна иметь асимптотически при -распределение с степенями свободы, а если гипотеза не верна, то у должно быть в среднем больше.