Главная > Прикладная статистика: Классификации и снижение размерности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 3. ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО КЛАССИФИКАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ОБУЧАЮЩИХ ВЫБОРОК (ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ)

3.1. Предварительный анализ данных

Это один из наиболее ответственных этапов дискриминантного анализа, направленный на формирование математической модели данных, которая в свою очередь служит основой для выбора конкретного алгоритма. Редко исследование с применением ДА осуществляется изолированно. Поэтому при предварительном анализе обязательно надо использовать опыт других близких работ, а не полагаться всецело на данную конкретную обучающую выборку. Кроме того, следует различать условия, при которых метод классификации выводится, и условия, при которых он может быть успешно применен.

Анализ обычно начинается с общего осмотра данных, проводимого с помощью метода главных компонент [11, 10.5]. Ниже описываются более специфические приемы.

3.1.1. Проверка применимости линейной дискриминантной функции (ЛДФ) В п. 1.1 2 ЛДФ выведена как логарифм отношения правдоподобия в задаче Фишера. Соответствующая математическая модель — два многомерных нормальных распределения с общей ковариационной матрицей. Построим графический тест для проверки этого базового предположения. Но прежде, чем описывать тест, обратим внимание на качественное смысловое различие классов, часто встречающееся в приложениях. Это поможет понять интуитивную идею, лежащую в основе теста. Один из классов обычно соответствует или стабильному состоянию, или устойчивому течению какого-либо процесса. Он относительно однороден. Для него, как правило, и нет основания ожидать слишком большого отклонения от многомерной

Назовем объекты этого класса не-случаями С другой стороны, объекты другого класса — случаи — представляют собой отклонения от равновесия, устойчивости Отклонения могут происходить в разных направлениях Можно ожидать, что разброс вектора X для случаев больше, чем для не-случаев Случаи хуже изучены по сравнению с не-случаями

Спроектируем случаи на двумерную плоскость Для этого нормализуем выборочные векторы случаев согласно выборочным оценкам среднего и ковариационной матрицы не-случаев

где X и S определены как обычно

Найдем теперь двумерную плоскость, проходящую через начало координат (центр не-случаев после нормализации), такую, что сумма квадратов расстояний от нее минимальна Нетрудно видеть, что эта плоскость должна быть натянута на первые два собственных вектора, соответствующих наибольшим корням матрицы Далее спроектируем каждый вектор на эту плоскость и построим отдельно гистограмму, показывающую распределение расстояний случаев от этой плоскости Если достаточно велики по сравнению с и верны базовые предположения, то линии постоянного уровня плотности случаев должны быть концентрическими окружностями с центром в точке, соответствующей Распределение расстояний точек от плоскости должно соответствовать примерно -распределению с степенями свободы

Визуальный анализ расположения проекций случаев на плоскости позволяет ответить на следующие вопросы

1 Возможна ли вообще эффективная классификация с помощью плоскости?

2 Насколько геометрия расположения случаев соответствует гипотезе о равенстве ковариационных матриц?

3 Насколько однородны случаи? Не распадается ли их распределение на отдельные кластеры?

4 Нет ли среди случаев слишком удаленных от плоскости?

и т. п.

Пример применения предложенного анализа к конкретным данным показан на рис 3 1, а, б Из рисунка видно, что: 1) эффективная классификация (в данном случае речь идет о прогнозе события стать случаем) возможна, 2) распределение случаев имеет разброс больше ожидаемого согласно модели двух нормальных распределений с общей ковариационной матрицей;

(см. скан)

Рис. 3.1 Геометрическая проверка условий применимости линейного дискриминантного анализа а) проекции случаев на плоскость, б) распределение квадратов расстояний случаев от плоскости, О — два случая в той же точке

3) случаи не распадаются на отдельные кластеры. Совпадение распределения расстояний с распределением вполне удовлетворительно.

3.1.2. «Главные компоненты» одного из классов как новые информативные координаты.

Пусть, как и в предыдущем пункте, один из классов из содержательных соображений может быть выделен в качестве стабильного устойчивого состояния и принадлежащие ему объекты названы не-случаями. Объекты других классов будем называть случаями типа . Интуитивная идея, лежащая в основе предложения перейти к «главным компонентам» не-случаев, следующая: класс не-случаев не вполне однороден и в него наряду с типичными не-случаями входят объекты, которые все еще остаются не-случаями, но вместе с тем уже сдвинуты в направлениях случаев. Ковариационная матрица не-случаев должна нести следы этих сдвигов. При надлежащей обработке, расположении сдвигов и удаче в выборе параметра X (см. ниже) эти следы можно выявить и воспользоваться ими при выборе информативных для различения классов координат.

Введем теперь более точные определения. Пусть экспоненциально взвешенные оценки среднего и ковариационной матрицы не-случаев [11, п. 10.4.6], причем параметр X подобран так, чтобы - средний вес наблюдения обучающей выборки — был бы равен, например, 0,5.

Положим

Собственные векторы матрицы V. будем называть главными компонентами не-случаев. Для нас принципиально важно, что эти компоненты не зависят от векторов других классов. Если при проверке на обучающей выборке окажется, что векторы типа достаточно хорошо описываются первыми главными компонентами, то переход к новым координатам на базе первых главных компонент целесообразен. При проверке удобно построить график (отношение квадрата проекции вектора на первые I главных компонент к квадрату длины вектора) (рис. 3.2) с нанесенным ожидаемым значением квадрата длины проекции единичного равномерно распределенного случайного вектора, равным с учетом соответствующих стандартных отклонений, примерно равных . Как видно из рисунка, проекции на первые три главные компоненты значимо отличаются от ожидаемого значения.

3.1.3. Устойчивые оценки параметров распределений в классах.

Когда распределения X в классах можно считать приближенно многомерными нормальными, для оценки средних и ковариационных матриц рекомендуется использовать устойчивые к отклонениям от нормальности оценки, например ЭВ-оценки [11, п. 10.4.6]. При этом наблюдения, получившие аномально низкий вес, должны быть внимательно проэкзаменованы: не вкралась ли в их запись (X, у) ошибка.

Рис. 3.2. Отклонения квадрата длины проекции вектора на I первых главных компонент от ожидаемого значения при полностью случайной ориентации вектора — отношение квадрата проекции вектора на I первых главных компонент к квадрату длины вектора, О — математическое ожидание отношения; X — математическое ожидание отношения плюс два асимптотических стандартных отклонения

ЭВ-оценки помогают эффективно определять параметры классов при возможных ошибках в отнесении наблюдений к классам.

3.1.4. Проверка гипотез о простой структуре.

В § 2.3 показано, что информация о простой структуре ковариационной матрицы S дает возможность существенно улучшить результаты классификации.

Поэтому всякий раз перед применением ЛДФ следует проверить, имеет ли ковариационная матрица 2 древообразную структуру зависимостей [12, 4.2-4.3]. Для этого с помощью алгоритма Крускала оценивается структура зависимостей, а далее с учетом структуры строится . Пусть -обычная оценка 2. Для оценки значимости различия S и в условиях, когда X внутри класса распределены нормально, можно воспользоваться критерием максимального правдоподобия для проверки сложной гипотезы [11, п. 9.3.3]. При этом если предположение о ДСЗ верно, то величина

где суммирование производится по всем объектам класса, должна иметь асимптотически при -распределение с степенями свободы, а если гипотеза не верна, то у должно быть в среднем больше.

1
Оглавление
email@scask.ru