7.5.2. Алгоритмы нечеткой классификации.

Специфику этих алгоритмов покажем на алгоритме -средних [192,193]. Пусть где .

Управляющие параметры:

k — число классов;

М — симметрическая положительно определенная матрица, задающая расстояние в

(далее для простоты будем предполагать, что — единичная матрица);

а — число, определяющее весовую функцию (см. п. 7.5.1).

Схема алгоритма

1. Выберем начальное разбиение на k нечетких классов, т. е. массив из -мерных векторов для всех

2. Пусть построено разбиение в виде массива из -мерных векторов Вычислим набор центров где

3. Построим разбиение в виде массива ), порождаемое центрами где

т. е. если , то

4. Если для некоторого , то переходим к 2; если то полагаем и заканчиваем работу алгоритма.

При фиксированных k и М описанный алгоритм -средних представляет собой параметрическое семейство по а, где . Построение нечеткого разбиения, порождаемого набором центров (см. 3), определено при

Пусть Положим

Тогда

С другой стороны, непосредственно из определения нечеткого класса следует, что при он имеет вид:

Решением этой задачи линейного программирования является любой -мерный вектор, лежащий на грани симплекса выделяемого условиями если . В частности, любая из вершин этого симплекса, у которой все координаты, кроме одной с номером из множества равны 0. Таким образом получается, что минимальное дистанционное разбиение, порождаемое набором центров - это одна из допустимых классификации в алгоритме Беждека при

Пусть . Тогда т. е. классификация вырождается. Таким образом, в алгоритме Беждека брать слишком большие значения параметра а не имеет смысла.

Точно так же, как расписан алгоритм нечеткой классификации по методу -средних, можно расписать соответствующие алгоритмы по всем методам, основанным на описании классов «ядрами», рассмотренным в § 7.2 и 7.4. Например, полностью сохраняется общая схема алгоритмов классификации по методу динамических сгущений (см. 7.4.2).

В случае нечеткой классификации необходимо только использовать следующий способ построения функции назначения f при выбранных ядрах классов и мерах сходства с объектом сопоставляется -мерный вектор принадлежности к классам, такой, что

Например, в качестве весовых функций можно, как и выше, взять функции Тогда такие алгоритмы нечеткой классификации по МДС при перейдут в алгоритмы, вариантами которых являются алгоритмы, описанные в § 7.4.

Детальное описание алгоритмов нечеткой классификации и исследование их можно найти в [193].