19.8.4. Алгоритм восстановления плотности по ее проекциям на основе принципа максимума энтропии.

Пусть — данный набор одномерных проекций искомой многомерной плотности

Обозначим через пространство плотностей в D и через — подпространство плотностей , таких, что

Здесь, в отличие от п. 19.8.3, можно считать D неограниченным подмножеством в в частности, D может совпадать с

В основе конструкции алгоритма из п. 19.8.3 лежит геометрия гильбертова пространства Используя геометрию, задаваемую в функционалом относительной энтропии

несимметричную пифагорову геометрию информационного уклонения, в терминологии Н. Н. Ченцова [165], можно тем же способом построить проекционный алгоритм восстановления плотности.

Определим проектор из как оператор, ставящий в соответствие плотности плотность

Оператор задается формулой

которая вытекает из соотношения

верного для всех

При Ломощи операторов так же, как и в п. 19.8.3, для любой начальной плотности строится последовательность

(19.63)

Цель алгоритма (19.63) — дать в качестве оценки плотности (X) решение задачи: найти

(19.64)

Пусть сосредоточено в шаре D радиуса . Тогда, взяв в качестве равномерное распределение получаем

т. e. в этом случае задача (19.64) сводится к задаче: найти

(19.65)

Пусть ранг системы векторов не меньше . Без ограничения общности в этом случае можно считать, что матрица , составленная из вектор-столбцов является невырожденной. Тогда, взяв в качестве начального приближения получаем:

т.е. для любой плотности . Следовательно, и в этом случае задача (19.64) сводится к задаче (19.65), по теперь уже без дополнительного предположения о том, что сосредоточено в шаре D.

Из (19.63) следует

Таким образом, как и в п. 19.8.3, можно использовать аргументы целенаправленного проецирования для модификации алгоритма.

Положим . Пусть уже построены приближения Взяв функционал в качестве критерия выразительности проекции относительно приближения найдем

и зададим следующее приближение формулой .

Замечание. Нели использовать функционал (19.66) в разведочном анализе для нахождения наиболее выразительных проекций данной выборки среди всех проекций , где пробегает фиксированный список наиравлопий, а именно так и бывает при числепиой реализации алюригмов ЦП, то видно, что в этом случае алгоритм оценки плотности, данный в п. 19.8.1, совпадает с только рассмотренным модифицированным алгоритмом.