15.3.3. Оценивание неизвестных параметров целевой функции при экспертных ранжировках и парных сравнениях объектов.

Каждая экспертная ранжировка ( строка в (15.26)) может быть представлена в виде булевой матрицы в соответствии с правилом (15.2 в). Поэтому в дальнейшем (в данном пункте) будем считать, что экспертная информация о выходном качестве объектов представлена в виде матриц парных сравнений вида (15.2 в).

В общем случае задача состоит в том, чтобы на основе известных сравнений N пар объектов (не обязательно всех возможных пар из объектов, т. е. N может быть меньше ) определить скалярную функцию такую, что парные сравнения, установленные по этой функции относительно тех же пар объектов, минимально (в смысле заданного критерия) отличались бы от экспертно установленных.

В случае парных сравнений в виде отношений предпочтения (см. правило (15.2 в) формирования элементов поставив на первое место в каждой из N экспертно оцененных пар лучший (не худший) объект, будем иметь пары значения целевых функций элементов которых должны были бы удовлетворять системе неравенств

Однако в общем случае эта система оказывается несовместной. Поэтому в каждое неравенство вводится невязка

и вектор оценок определяется из условия минимума суммы невязок при некоторых ограничениях (типа нормировки) на компоненты искомого параметра . В работе [87] подробно расписан алгоритм вычисления оценки для случая линейной целевой функции 1.

В случае парных сравнений, задающих разбиение объектов на однородные классы (см. правило (15.2 в) формирования элементов матрицы утв задают различных разбиений множества на классы, элементы каждого из которых близки по анализируемому выходному качеству. Для любых двух разбиений может быть введена мера близости между этими разбиениями

Пусть — некоторая линейная аппроксимация Задавшись некоторым можно с помощью построить разбиение объектов на классы. В один класс при этом попадут те объекты, у которых , в другой — те, у которых и т.д. Полученное разбиение зависит, очевидно, от значений . Подбираются такие значения , чтобы величина была минимальна.

Для наилучшего выбора вектора коэффициентов можно использовать также так называемый «метод голосования».

При любом с помощью линейной функции строится разбиение объектов следующим образом. Пусть в разбиениях классы занумерованы и класс в экспертном разбиении. Для любого объекта подсчитывается величина

где

Объект относится к тому классу, для которого величина максимальна. Полученное разбиение обозначим через . Параметры подбираются из условия минимизации величины (при наличии априорных «весов компетентности» минимизируется взвешенная сумма Используется алгоритм эвристического типа.

Замечание. Выше отмечалось, что успех описываемого подхода целиком зависит от качества экспертной части исходной информации. Поэтому прежде чем непосредственно приступить к процедурам оценивания параметров 0 целевой функции, необходимо тщательно исследовать структуру и степень согласованности экспертных мнений. В варианте балльных оценок это сводится в основном к анализу резко выделяющихся наблюдений [11, § 11.5]. В варианте ранжировок используется аппарат ранговой корреляции [12, гл. 2] в первую очередь для того, чтобы проверить гипотезу об отсутствии какой бы то ни было согласованности в упорядочениях различных экспертов (см. также [9, с. 212—213]). В варианте парных сравнений исследуется структура попарных расстояний между экспертными разбиениями на классы.

Иногда удобно пользоваться единым, вариантом экспертной оценки выходного качества объектов. В случае балльных оценок после исключения аномальных некомпетентных мнений пользуются средними арифметическими (усреднение повеем оставшимся экспертам) баллами для каждого объекта.

В случае ранжировки и парных сравнений объектов следует пользоваться медианными оценками: каждому объекту приписывается ранг, равный медиане ряда рангов, присвоенных ему всеми экспертами; в качестве единого разбиения используется медианное разбиение, определяемое как решение оптимизационной задачи вида