101. Логарифмический потенциал.

В случае плоскости вместо основного сингулярного решения мы имеем

Пусть замкнутый контур на плоскости его длина. Потенциал простого слоя определяется формулой

Второе сингулярное решенне, аналогичное диполю в трехмерном случае (см. (18)), будет

и потенциал двойного слоя определится формулой

где . Выражение дает угол, под которым виден элемент контура из точки М, причем этот угол получается положительным, если и отрицательным, если Аналогом формулы (26) будет следующая формула;

Относительно контура можно сделать предположения, аналогичные тем, которые мы делали относительно поверхности S Положим теперь, что функции дающие параметрическое уравнение линии и имеющие период допускают непрерывные производные до второго порядка. Функцию мы считаем непрерывной. Исследуем ядро потенциала двойного слоя, считая, что точка М лежит на l и совпадает с некоторой точкой этой линии. Принимая во внимание, что направляющие косинусы направления выражаются производными мы можем написать:

Если s и отличны, то написанное выражение представляет собою непрерывную функцию s и Положим теперь, что s и стремятся к общему пределу Применяя формулу Тейлора, можем написать:

где значения находятся между s и Подставляя в (84) и сокращая на мы получим в пределе выражение

равное половине кривизны кривой в точке Таким образом, функция (84) является непрерывной функцией S и вдоль Обозначая эту функцию через мы можем утверждать, что потенциал двойного слоя представляет собой непрерывную функцию если находится на

Таким образом, при сделанных предположениях относительно функция (84) является непрерывной функцией s и на . В трехмерном случае функция имела, вообще говоря, полярность при совпадении N с Для потенциала двойного слоя (82) можно доказать формулы, аналогичные (42):

где угол, образованный направлением с направлением внешней нормали к l в точке Из (85) следует

Потенциал простого слоя (81) определен во всех точках плоскости и непрерывен на всей плоскости.

Пусть некоторая точка на — направление нормали в этой точке. Мы имеем, если М не на S,

При приближении М к по нормали изнутри и извне S производная (87) имеет пределы, которые определяются по формулам

из которых следует

Вместо (84) мы будем иметь

и, как и выше, можно показать, что это выражение остается непрерывным и при совпадении s и . Отметим, что потенциал простого слоя (81) не обращается, вообще говоря, в нуль на бесконечности.