101. Логарифмический потенциал.
В случае плоскости вместо основного сингулярного решения
мы имеем
Пусть
замкнутый контур на плоскости
его длина. Потенциал простого слоя определяется формулой
Второе сингулярное решенне, аналогичное диполю в трехмерном случае (см. (18)), будет
и потенциал двойного слоя определится формулой
где
. Выражение
дает угол, под которым виден элемент контура
из точки М, причем этот угол получается положительным, если
и отрицательным, если
Аналогом формулы (26) будет следующая формула;
Относительно контура
можно сделать предположения, аналогичные тем, которые мы делали относительно поверхности S Положим теперь, что функции
дающие параметрическое уравнение линии
и имеющие период
допускают непрерывные производные до второго порядка. Функцию
мы считаем непрерывной. Исследуем ядро потенциала двойного слоя, считая, что точка М лежит на l и совпадает с некоторой точкой
этой линии. Принимая во внимание, что направляющие косинусы направления
выражаются производными
мы можем написать:
Если s и
отличны, то написанное выражение представляет собою непрерывную функцию s и
Положим теперь, что s и
стремятся к общему пределу
Применяя формулу Тейлора, можем написать:
где значения
находятся между s и
Подставляя в (84) и сокращая на
мы получим в пределе выражение
равное половине кривизны кривой в точке
Таким образом, функция (84) является непрерывной функцией S и
вдоль
Обозначая эту функцию через
мы можем утверждать, что потенциал двойного слоя
представляет собой непрерывную функцию
если
находится на
Таким образом, при сделанных предположениях относительно
функция (84) является непрерывной функцией s и
на
. В трехмерном случае функция
имела, вообще говоря, полярность при совпадении N с
Для потенциала двойного слоя (82) можно доказать формулы, аналогичные (42):
где
угол, образованный направлением
с направлением
внешней нормали к l в точке
Из (85) следует
Потенциал простого слоя (81) определен во всех точках плоскости и непрерывен на всей плоскости.
Пусть
некоторая точка на
— направление нормали в этой точке. Мы имеем, если М не на S,
При приближении М к
по нормали изнутри и извне S производная (87) имеет пределы, которые определяются по формулам
из которых следует
Вместо (84) мы будем иметь
и, как и выше, можно показать, что это выражение остается непрерывным и при совпадении s и
. Отметим, что потенциал простого слоя (81) не обращается, вообще говоря, в нуль на бесконечности.