76. Симметрия функции Грина.

Формула (7) определяет функцию Грина не только при но и на концах т. е. во всем замкнутом квадрате и из этой формулы непосредственно вытекает, что функция Грина обладает во всем квадрате свойством симметрии:

Дадим другое доказательство симметричности функции Грина, основанное на идее, применимой и в более общих случаях. Нетрудно проверить следующее тождество:

В этом тождестве любые две функции с непрерывными производными до второго порядка. Подставим в причем для определенности будем считать Интегрируя по промежуткам и принимая во внимание, что функция Грина удовлетворяет однородному уравнению мы получим

Складывая эти три равенства и принимая во внимание непрерывность самой функции Грина и разрывность ее первой производной, мы придем к следующему соотношению

Нетрудно проверить, что разность, стоящая в правой части написанной формулы, обращается в нуль при Действительно, функция Грина удовлетворяет первому из предельных условий (2), т. е.

и так как мы естественно считаем, что заданные постоянные и одновременно не могут равняться нулю, то определитель написанной однородной системы должен равняться нулю, т. е. упомянутая выше разность действительно обращается в нуль при . Аналогично доказывается, что она обращается в нуль и при а тогда формула (15) и дает нам симметричность функции Грина.

Можно рассматривать предельные условия более общие, чем условия (2), а именно такие, при которых значения функции и ее производной на обоих концах промежутка входят в оба условия:

Все предыдущие рассуждения, кроме доказательства симметрич ности функции Грина, сохранят свою силу, а для того чтобы предыдущее доказательство симметричности функции Грина осталось справедливым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие.

Мы не останавливаемся на доказательстве этого утверждения. Нетрудно непосредственно проверить, что симметричность функции Грина сохранится при чисто периодических предельных условиях если т. е. если и функция обладает периодичностью. Отметим, что если и остальные коэффициенты обладают периодичностью, то предельная задача с указанными выше периодическими предельными условиями сводится к разысканию тех значений параметра Я, при которых уравнение (1) имеет периодическое решение.